Componentes tangencial y normal

En matemáticas , dado un vector en un punto de una curva , ese vector se puede descomponer únicamente como una suma de dos vectores, uno tangente a la curva, llamado componente tangencial del vector, y otro perpendicular a la curva, llamado componente normal del vector. De manera similar, un vector en un punto de una superficie se puede descomponer de la misma manera.

De manera más general, dada una subvariedad N de una variedad M , y un vector en el espacio tangente a M en un punto de N , se puede descomponer en la componente tangente a N y la componente normal a N .

De manera más formal, sea una superficie y un punto en la superficie. Sea un vector en . Entonces se puede escribir de manera única como una suma donde el primer vector en la suma es el componente tangencial y el segundo es el componente normal. Se deduce inmediatamente que estos dos vectores son perpendiculares entre sí. ${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \mathbf {v}}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \mathbf {v}}$$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp }}$$

Para calcular los componentes tangencial y normal, considere una normal unitaria a la superficie, es decir, un vector unitario perpendicular a en . Entonces, y por lo tanto donde " " denota el producto escalar . Otra fórmula para el componente tangencial es ${\displaystyle {\sombrero {\mathbf {n} }}}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización x}$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }=\left(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right){\hat {\mathbf {n} }}}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }}$$${\estilo de visualización \cdot}$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\paralelo }=-{\hat {\mathbf {n} }}\times ({\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {v} ),}$$

donde " " denota el producto vectorial . ${\displaystyle \veces}$

Estas fórmulas no dependen de la unidad normal particular utilizada (existen dos normales unitarias a cualquier superficie en un punto dado, que apuntan en direcciones opuestas, por lo que una de las normales unitarias es el negativo de la otra). ${\displaystyle {\sombrero {\mathbf {n} }}}$

De manera más general, dada una subvariedad N de una variedad M y un punto , obtenemos una secuencia exacta corta que involucra los espacios tangentes : El espacio cociente es un espacio generalizado de vectores normales. ${\displaystyle p\en N}$$${\displaystyle T_{p}N\a T_{p}M\a T_{p}M/T_{p}N}$$ $Estilo de visualización T_{p}M/T_{p}N$

Si M es una variedad de Riemann , la secuencia anterior se divide y el espacio tangente de M en p se descompone como una suma directa del componente tangente a N y el componente normal a N : Por lo tanto, cada vector tangente se divide como , donde y . $${\displaystyle T_{p}M=T_{p}N\oplus N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }}$$ ${\displaystyle v\en T_{p}M}$${\displaystyle v=v_{\parallel }+v_{\perp }}$${\displaystyle v_{\paralelo}\en T_{p}N}$${\displaystyle v_{\perp}\en N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp}}$

Supongamos que N está dada por ecuaciones no degeneradas.

Si N se da explícitamente, a través de ecuaciones paramétricas (como una curva paramétrica ), entonces la derivada da un conjunto generador para el fibrado tangente (es una base si y solo si la parametrización es una inmersión ).

Si N se da implícitamente (como en la descripción anterior de una superficie, (o más generalmente como) una hipersuperficie ) como un conjunto de niveles o intersección de superficies de niveles para , entonces los gradientes de abarcan el espacio normal. $estilo de visualización g_{i}}$$estilo de visualización g_{i}}$

En ambos casos, podemos calcular nuevamente utilizando el producto escalar ; sin embargo, el producto vectorial es específico para tres dimensiones.

• Multiplicadores de Lagrange : los puntos críticos restringidos son donde el componente tangencial de la derivada total se desvanece.
• Normal de superficie
• Fórmulas de Frenet-Serret
• Geometría diferencial de superficies § Vectores tangentes y vectores normales

• Rojansky, Vladimir (1979). Campos y ondas electromagnéticas . Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-63834-0.
• Crowell, Benjamin (2003). Luz y materia.