ángulo paraláctico

En astronomía esférica , el ángulo paraláctico es el ángulo entre el círculo máximo que pasa por un objeto celeste y el cenit , y el círculo horario del objeto. ^{[ 1 ]} Generalmente se denota con la letra q . En el triángulo cenit-objeto-polo celeste, el ángulo paraláctico será el ángulo de posición del cenit en el objeto celeste. A pesar de su nombre, este ángulo no está relacionado con la paralaje . El ángulo paraláctico es de 0° o 180° cuando el objeto cruza el meridiano .

Para los observatorios terrestres, la atmósfera terrestre actúa como un prisma que dispersa la luz de diferentes longitudes de onda, de modo que una estrella genera un arco iris en la dirección que apunta al cenit. Así, dada una imagen astronómica con un sistema de coordenadas con una dirección conocida hacia el polo celeste , el ángulo paraláctico representa la dirección de ese efecto prismático en relación con esa dirección de referencia. [En ese sentido, la imagen estirada de la estrella causada por la dispersión atmosférica es vagamente similar al movimiento (aparente) de la estrella que podría haber sido producido por su distancia finita al observador, es decir, su paralaje.] El conocimiento de ese ángulo es necesario para alinear los correctores de dispersión atmosférica con el eje del haz del telescopio ^{[ 2 ] [ 3 ]} .

Dependiendo del tipo de montura del telescopio , este ángulo también puede afectar la orientación del disco del objeto celeste tal como se ve en el telescopio. Con una montura ecuatorial , los puntos cardinales del disco del objeto celeste se alinean con la dirección vertical y horizontal de la vista en el telescopio. Con una montura altazimutal , esas direcciones se rotan según el ángulo paraláctico. ^{[ 4 ]} Los puntos cardinales a los que se hace referencia aquí son los puntos en el limbo ubicados de tal manera que una línea desde el centro del disco que los atraviese apunte a uno de los polos celestes o a 90° de ellos; estos no son los puntos cardinales definidos por el eje de rotación del objeto.

La orientación del disco de la Luna, en relación con el horizonte , cambia a lo largo de su movimiento diurno y el ángulo paraláctico cambia de forma equivalente. ^{[ 5 ]} Esto también ocurre con otros objetos celestes.

En una efeméride , se puede tabular el ángulo de posición del punto medio del limbo brillante de la Luna o los planetas, y los ángulos de posición de sus polos norte . Si este ángulo se mide desde el punto norte en el limbo, se puede convertir a un ángulo medido desde el punto cenital (el vértice) visto por un observador restando el ángulo paraláctico. ^{[ 5 ]} El ángulo de posición del limbo brillante está directamente relacionado con el del punto subsolar .

El álgebra vectorial para derivar la fórmula estándar es equivalente al cálculo de la derivación larga para el rumbo de la brújula. El signo del ángulo se mantiene básicamente, norte sobre este en ambos casos, pero como los astrónomos observan las estrellas desde el interior de la esfera celeste , la definición utiliza la convención de que q es el ángulo en una imagen que gira la dirección hacia el NCP en sentido antihorario hacia la dirección del cenit.

En el sistema ecuatorial de ascensión recta , α , y declinación , δ , la estrella se encuentra en

${\displaystyle \mathbf {s} =\left({\begin{array}{c}\cos \delta \cos \alpha \\\cos \delta \sin \alpha \\\sin \delta \end{array}}\right).}$

El Polo Norte Celeste se encuentra en

${\displaystyle \mathbf {N} =\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).}$

En este mismo sistema de coordenadas, el cenit se encuentra insertando la altitud, a = π /2 , cos a = 0 , en las fórmulas de transformación para obtener

${\displaystyle \mathbf {z} =\left({\begin{array}{c}\cos \varphi \cos l\\\cos \varphi \sin l\\\sin \varphi \end{array}}\right),}$

donde φ es la latitud geográfica del observador y l el tiempo sideral local.

Esto también describe un sistema de coordenadas del observador, giratorio y diestro, con el eje X alineado hacia el sur, donde el meridiano local interseca el horizonte, el eje Y hacia el horizonte oriental y el eje Z hacia el cenit. Este es el sistema de coordenadas en el que se miden la altitud y el acimut. Para la estrella, en un momento l , con la altitud esperada a , definimos su distancia cenital como${\displaystyle z=\pi /2-a}$. Su ángulo horario,${\displaystyle h=l-\alpha }$, mide el intervalo de tiempo sideral transcurrido desde que la estrella cruzó el meridiano local y es negativo si la estrella está al este del meridiano y su cruce está pendiente.

El producto vectorial normalizado es el eje de rotación que orienta la estrella hacia el cenit:

${\displaystyle \mathbf {\omega } _ {z}={\frac {1}{\sin z}}\mathbf {s} \times \mathbf {z} ={\frac {1}{\sin z}}\left({\begin{array}{c}\cos \delta \sin \alpha \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \sin l\\-\cos \delta \cos \alpha \sin \varphi +\sin \delta \cos \varphi \cos l\\\cos \delta \cos \varphi \sin(\alpha -l)\end{array}}\right).}$

Finalmente , ω _z × s es el tercer eje del sistema de coordenadas inclinado y la dirección en la que la estrella se mueve sobre el círculo máximo hacia el cenit.

El plano tangente a la esfera celeste en la estrella está generado por los vectores unitarios hacia el norte,

${\displaystyle \mathbf {u} _{\delta }=\left({\begin{array}{c}-\sin \delta \cos \alpha \\-\sin \delta \sin \alpha \\\cos \delta \end{array}}\right),}$

y hacia el este

${\displaystyle \mathbf {u} _{\alpha }=\left({\begin{array}{c}-\sin \alpha \\\cos \alpha \\0\end{array}}\right).}$

Estos son ortogonales:

${\displaystyle \mathbf {u} _{\delta }\cdot \mathbf {u} _{\alpha }=0;\quad \mathbf {u} _{\delta }^{2}=\mathbf {u} _{\alpha }^{2}=1.}$

El ángulo paraláctico q es el ángulo de la sección inicial del círculo máximo en s , al este del norte, ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \omega _{z}\times \mathbf {s} =\cos q\,\mathbf {u} _{\delta }+\sin q\,\mathbf {u} _{\alpha }.}$

${\displaystyle \cos q=(\omega _{z}\times \mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{\delta }={\frac {1}{\sin z}}(\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \cos h),}$

${\displaystyle \sin q=(\omega _ {z}\times \mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _ {\alpha }={\frac {1}{\sin z}}\sin h\cos \varphi .}$

(La fórmula anterior es la fórmula del seno de la trigonometría esférica . ^{[ 7 ]} ) Los valores de sen z y de cos φ son positivos, por lo que usando funciones atan2 se pueden dividir ambas expresiones por estos sin perder signos; finalmente

${\displaystyle \tan q={\frac {\sin h\cos \varphi }{\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \cos h}}={\frac {\sin h}{\cos \delta \tan \varphi -\sin \delta \cos h}}}$

da como resultado el ángulo en todo el rango - π ≤ q ≤ π . La ventaja de esta expresión es que no depende de las diversas convenciones de compensación del acimut, A ; la compensación indiscutible del ángulo horario , h , se encarga de esto.

Para un objetivo sideral, por definición un objetivo donde δ y α no dependen del tiempo, el ángulo cambia con un período de un día sideral T _s . Sea que los puntos denoten derivadas temporales; entonces el ángulo horario cambia como ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\dot {h}}={\frac {2\pi }{T_{s}}}}$

y la derivada temporal de la expresión tan q es ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\dot {q}}{\frac {1}{\cos ^{2}q}}={\frac {\cos \varphi [\cos h\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi ]}{(\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \cos h)^{2}}}{\dot {h}};}$

${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {\cos \varphi [\cos h\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi ]}{\sin ^{2}z}}{\dot {h}}={\frac {\cos \varphi \cos a\cos A}{\sin ^{2}z}}{\dot {h}}={\frac {\cos \varphi \cos A}{\sin z}}{\punto {h}}.}$

El valor derivado anteriormente siempre se refiere al polo celeste norte como origen de coordenadas, incluso si no es visible (es decir, si el telescopio está al sur del ecuador ). Algunos autores introducen fórmulas más complejas con signos variables para derivar ángulos similares para telescopios al sur del ecuador que utilizan el polo celeste sur como referencia. ^{[ 10 ]}

• Libración
• Monte ecuatorial
• Montura altazimutal

• Taff, Laurence G. (1981). Astronomía esférica computacional . Wiley. Bibcode : 1981csa..book.....T . ISBN 0471-873179.
• Karttunen, Hannu; Kröger, Pekka; Oja, Heikki; Poutanen, Markku; Donner, Karl Johan, eds. (1987). Astronomía Fundamental . Saltador. Bibcode : 2003fuas.book.....K . ISBN 0-387-17264-5.