Polinomios de Padován

En matemáticas , los polinomios de Padovan son una generalización de los números de secuencia de Padovan . Estos polinomios se definen mediante: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle P_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}n=1\\0,&{\mbox{si }}n=2\\x,&{\mbox{si }}n=3\\xP_{n-2}(x)+P_{n-3}(x),&{\mbox{si }}n\geq 4.\end{cases}}}$

Los primeros polinomios de Padov son:

${\displaystyle P_{1}(x)=1\,}$

${\displaystyle P_{2}(x)=0\,}$

${\displaystyle P_{3}(x)=x\,}$

${\displaystyle P_{4}(x)=1\,}$

${\displaystyle P_{5}(x)=x^{2}\,}$

${\displaystyle P_{6}(x)=2x\,}$

${\displaystyle P_{7}(x)=x^{3}+1\,}$

${\displaystyle P_{8}(x)=3x^{2}\,}$

${\displaystyle P_{9}(x)=x^{4}+3x\,}$

${\displaystyle P_{10}(x)=4x^{3}+1\,}$

${\displaystyle P_{11}(x)=x^{5}+6x^{2}.\,}$

Los números de Padovan se recuperan evaluando los polinomios P _{​​n −3} ( x ) en x  =  1.

Evaluar P _{n −3} ( x ) en x  =  2 da el n- ésimo número de Fibonacci más (−1) ⁿ . (secuencia A008346 en el OEIS )

La función generadora ordinaria para la secuencia es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt^{2}-t^{3}}}.}$

• Sucesiones polinómicas