Optimización con restricciones de EDP

El siguiente ejemplo proviene de las páginas 20-21 de Pearson. ^{[ 3 ]} La quimiotaxis es el movimiento de un organismo en respuesta a un estímulo químico externo. Un problema de particular interés es el manejo de la dinámica espacial de las bacterias que están sujetas a quimiotaxis para lograr algún resultado deseado. Para una densidad celular${\displaystyle z(t,{\bf {x}})}$y densidad de concentración${\displaystyle c(t,{\bf {x}})}$de un quimioatrayente , es posible formular un problema de control de frontera:$${\displaystyle \min _{z,c,u}\;{1 \over {2}}\int _{\Omega }\left[z(T,{\bf {x}})-{\widehat {z}}\right]^{2}+{\gamma _{c} \over {2}}\int _{\Omega }\left[c(T,{\bf {x}})-{\widehat {c}}\right]^{2}+{\gamma _{u} \over {2}}\int _{0}^{T}\int _{\partial \Omega }u^{2}}$$dónde${\displaystyle {\widehat {z}}}$es la densidad celular ideal,${\displaystyle {\widehat {c}}}$es la densidad de concentración ideal, y${\displaystyle u}$es la variable de control. Esta función objetivo está sujeta a la siguiente dinámica:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial z \over {\partial t}}-D_{z}\Delta z-\alpha \nabla \cdot \left[{\nabla c \over {(1+c)^{2}}}z\right]&=0\quad {\text{en}}\quad \Omega \\{\partial c \over {\partial t}}-\Delta c+\rho cw{z^{2} \over {1+z^{2}}}&=0\quad {\text{en}}\quad \Omega \\{\partial z \over {\partial n}}&=0\quad {\text{en}}\quad \partial \Omega \\{\partial c \over {\partial n}}+\zeta (cu)&=0\quad {\text{en}}\quad \partial \Omega \end{aligned}}}$$dónde${\displaystyle \Delta }$es el operador de Laplace .