p-FEM

p-FEM o la versión p del método de elementos finitos es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales . Es una estrategia de discretización en la que la malla de elementos finitos es fija y los grados polinómicos de los elementos se incrementan de tal manera que el grado polinómico más bajo, denotado por${\displaystyle p_{\min }}$, se aproxima al infinito. Esto contrasta con la "versión h" o "h-FEM", una estrategia de discretización ampliamente utilizada, en la que los grados polinómicos de los elementos se fijan y la malla se refina de tal manera que el diámetro del elemento más grande, denotado por${\displaystyle h_{\max }}$se acerca a cero.

En 1978, Szabó y Mehta demostraron, a partir de un problema de mecánica de fractura elástica lineal, que las secuencias de soluciones de elementos finitos basadas en la versión p convergen más rápido que las secuencias basadas en la versión h. ^{[ 1 ]} Los fundamentos teóricos de la versión p se establecieron en un artículo publicado por Babuška , Szabó y Katz en 1981 ^{[ 2 ]} donde se demostró que, para una amplia clase de problemas, la tasa asintótica de convergencia de la versión p en norma de energía es al menos el doble que la de la versión h, suponiendo que se utilizan mallas cuasiuniformes. En 1982, Babuška y Szabó presentaron resultados computacionales adicionales y evidencia de una convergencia más rápida de la versión p. ^{[ 3 ]}

La distinción entre las versiones h y p existe principalmente por razones históricas y teóricas. En aplicaciones prácticas, tanto el diseño de la malla como la elección de los grados polinómicos son importantes. De hecho, es posible lograr tasas de convergencia exponenciales cuando se utiliza la versión p en combinación con un diseño de malla adecuado. Este punto fue discutido desde la perspectiva de la ingeniería por Szabó y desde la perspectiva teórica por Guo y Babuška en 1986. ^{[ 4 ] [ 5 ]} La realización de tasas de convergencia exponenciales para las ecuaciones de Maxwell fue discutida por Costabel , Dauge y Schwab en 2005. ^{[ 6 ]}