Criterio de adelantamiento

En economía , el criterio de adelantamiento se utiliza para comparar secuencias infinitas de resultados. Matemáticamente, se utiliza para definir adecuadamente una noción de optimalidad para un problema de control óptimo en un intervalo de tiempo ilimitado. ^[1]

A menudo, las decisiones de un responsable de políticas pueden tener influencias que se extienden al futuro lejano. Las decisiones económicas que se toman hoy pueden influir en el crecimiento económico de una nación durante un número indeterminado de años en el futuro. En tales casos, suele ser conveniente modelar los resultados futuros como una corriente infinita. Luego, puede ser necesario comparar dos corrientes infinitas y decidir cuál de ellas es mejor (por ejemplo, para decidir sobre una política). El criterio de adelantamiento es una opción para hacer esta comparación.

${\estilo de visualización X}$es el conjunto de resultados posibles. Por ejemplo, puede ser el conjunto de números reales positivos, que representan el posible producto interno bruto anual . Está normalizado

${\displaystyle X^{\infty}}$es el conjunto de secuencias infinitas de resultados posibles. Cada elemento de tiene la forma: . ${\displaystyle X^{\infty}}$${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots )}$

${\displaystyle \precisión}$es un orden parcial . Dadas dos secuencias infinitas , es posible que sea débilmente mejor ( ) o que sea débilmente mejor ( ) o que sean incomparables. ${\estilo de visualización x,y}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle x\succeq y}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle y\succeq x}$

${\estilo de visualización \prec}$es la variante estricta de , es decir, si y no . ${\displaystyle \precisión}$${\displaystyle x\precisión y}$${\displaystyle x\precisión y}$${\displaystyle y\preciseq x}$

${\estilo de visualización \prec}$se denomina "criterio de adelantamiento" si existe una secuencia infinita de funciones de valor real tales que: ^[2]${\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots :X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle x\precisión y}$      si y solo si      ${\displaystyle \existe N_{0}:\para todo N>N_{0}:\suma _{t=1}^{N}u_{t}(x_{t})<\suma _{t=1}^{N}u_{t}(y_{t})}$

Una condición alternativa es: ^{[3] [4]}

${\displaystyle x\succ y}$      si y solo si      ${\displaystyle 0<\lim \inf _{N\to \infty }\suma _{t=1}^{N}u_{t}(x_{t})-\suma _{t=1}^{N}u_{t}(y_{t})}$

Ejemplos:

1. En el siguiente ejemplo : ${\displaystyle x\precisión y}$

${\displaystyle x=(0,0,0,0,...)}$

${\displaystyle y=(-1,2,0,0,...)}$

Esto demuestra que una diferencia en un solo período de tiempo puede afectar a toda la secuencia.

2. En el siguiente ejemplo, y son incomparables: ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

${\displaystyle x=(4,1,4,4,1,4,4,1,4,\lpuntos )}$

${\displaystyle y=(3,3,3,3,3,3,3,3,3,\lpuntos )}$

Las sumas parciales de son mayores, luego menores y luego iguales a las sumas parciales de , por lo que ninguna de estas secuencias "supera" a la otra. ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

Esto también demuestra que el criterio de adelantamiento no puede representarse mediante una única función de utilidad cardinal . Es decir, no existe ninguna función de valor real tal que si y solo si . Una forma de verlo es: ^[3] para cada y : ${\estilo de visualización U}$${\displaystyle x\precisión y}$${\displaystyle U(x)<U(y)}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {R}}$${\estilo de visualización a<b}$

${\displaystyle (a,a,\ldots)\prec (a+1,a,\ldots)\prec (b,b,\ldots)}$

Por lo tanto, existe un conjunto de segmentos no vacíos disjuntos en con una cardinalidad como la cardinalidad de . Por el contrario, todo conjunto de segmentos no vacíos disjuntos en debe ser un conjunto numerable . ${\displaystyle (X,\prec)}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle (\mathbb {R},\prec)}$

Se define como el subconjunto de en el que solo los primeros T elementos son distintos de cero. Cada elemento de tiene la forma . $Estilo de visualización X_{T}}$${\displaystyle X^{\infty}}$$Estilo de visualización X_{T}}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{T},0,0,0,\ldots )}$

${\estilo de visualización \prec}$Se denomina "criterio de adelantamiento" si satisface los siguientes axiomas:

1. Para cada , es un pedido completo en${\estilo de visualización T}$${\displaystyle \precisión}$$Estilo de visualización X_{T}}$

2. Para cada , es una relación continua en la topología obvia en . ${\estilo de visualización T}$${\displaystyle \precisión}$$Estilo de visualización X_{T}}$

3. Para cada , es preferencialmente independiente (ver Teoremas de Debreu#Aditividad de la función de utilidad ordinal para una definición). Además, para cada , al menos tres de los factores en son esenciales (tienen un efecto sobre las preferencias). ${\displaystyle T>1}$$Estilo de visualización X_{T}}$${\displaystyle T\geq 3}$$Estilo de visualización X_{T}}$

4.      si y solo si      ${\displaystyle x\precisión y}$${\displaystyle \exists T_{0}:\para todo T>T_{0}:(x_{1},\ldots ,x_{T},0,0,0,\ldots )\prec (y_{1},\ldots ,y_{T},0,0,0,\ldots )}$

Todo orden parcial que satisface estos axiomas, también satisface la primera definición cardinal. ^[2]

Como se explicó anteriormente, algunas secuencias pueden ser incomparables según el criterio de adelantamiento. Por este motivo, el criterio de adelantamiento se define como un ordenamiento parcial en , y un ordenamiento completo solo en . ${\displaystyle X^{\infty}}$$Estilo de visualización X_{T}}$

El criterio de adelantamiento se utiliza en la teoría del crecimiento económico . ^[5]

También se utiliza en la teoría de juegos repetidos , como alternativa al criterio del límite de medias y al criterio de la suma descontada. Véase Teorema de Folk (teoría de juegos)#Adelanto . ^{[3] [4]}

• Teoremas de Debreu
• Utilidad cardinal
• Utilidad ordinal