Curva osculante

En geometría diferencial , una curva osculadora es una curva plana de una familia dada que tiene el mayor orden de contacto posible con otra curva. Es decir, si F es una familia de curvas suaves , C es una curva suave (que no pertenece en general a F ) y P es un punto en C , entonces una curva osculadora de F en P es una curva de F que pasa por P y tiene tantas derivadas (sucesivas, desde la primera derivada) en P iguales a las derivadas de C como sea posible. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El término deriva de la raíz latina "osculate", besar , porque las dos curvas se tocan de una manera más íntima que la simple tangencia . ^{[ 3 ]}

Algunos ejemplos de curvas osculadoras de diferentes órdenes son:

• La recta tangente a una curva C en un punto p , la curva osculadora de la familia de rectas . La recta tangente comparte su primera derivada ( pendiente ) con C y, por lo tanto , tiene contacto de primer orden con C. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]}
• El círculo osculador a C en p , la curva osculadora de la familia de círculos . El círculo osculador comparte tanto su primera como su segunda derivada (equivalentemente, su pendiente y ^curvatura ) con C. [ ^{1 ] [ 2 ] [ 4 ]}
• La parábola osculadora a C en p , la curva osculadora de la familia de parábolas , tiene contacto de tercer orden ^con C. ^{[ 2 ]} [ ^{4 ]}
• La cónica osculadora a C en p , la curva osculadora de la familia de secciones cónicas , tiene contacto de cuarto orden ^con C. ^{[ 2 ]} [ ^{4 ]}

El concepto de osculación puede generalizarse a espacios de dimensiones superiores y a objetos que no son curvas dentro de esos espacios. Por ejemplo, un plano osculador a una curva espacial es un plano que tiene contacto de segundo orden con la curva. Este es el orden más alto posible en el caso general. ^{[ 5 ]}

En una dimensión, se dice que dos curvas analíticas osculan en un punto si comparten los tres primeros términos de su desarrollo de Taylor alrededor de ese punto. Este concepto puede generalizarse a la superosculación , en la que dos curvas comparten más de los tres primeros términos de su desarrollo de Taylor.

• Órbita osculadora