Círculo osculador

Un círculo osculador es un círculo que mejor aproxima la curvatura de una curva en un punto específico. Es tangente a la curva en ese punto y tiene la misma curvatura que la curva en ese punto. ^{[ 2 ]} El círculo osculador permite comprender el comportamiento local de una curva y se utiliza comúnmente en geometría diferencial y cálculo.

De forma más formal, en geometría diferencial de curvas , el círculo osculador de una curva plana suficientemente suave en un punto p dado sobre la curva se ha definido tradicionalmente como el círculo que pasa por p y un par de puntos adicionales sobre la curva infinitesimalmente cercanos a p . Su centro se encuentra en la línea normal interior , y su curvatura define la curvatura de la curva dada en ese punto. Este círculo, que es el que, entre todos los círculos tangentes en el punto dado, se aproxima más a la curva, fue denominado circulus osculans (en latín, "círculo que se besa") por Leibniz .

El centro y el radio del círculo osculador en un punto dado se denominan centro de curvatura y radio de curvatura de la curva en ese punto. Isaac Newton describió una construcción geométrica en sus Principia :

Dado que en cualquier lugar se conoce la velocidad con la que un cuerpo describe una figura dada, mediante fuerzas dirigidas a un centro común: hallar ese centro.

Imagina un coche circulando por una carretera curva en una vasta llanura. De repente, en un punto de la carretera, el volante se bloquea en su posición. A partir de ese momento, el coche describe un círculo que roza la carretera en ese punto. La curvatura de este círculo es igual a la de la carretera en ese momento. Ese círculo es el círculo osculador de la curva de la carretera en ese punto.

Sea γ ( s ) una curva plana paramétrica regular , donde s es la longitud de arco (el parámetro natural ). Esto determina el vector tangente unitario T ( s ) , el vector normal unitario N ( s ) , la curvatura con signo k ( s ) y el radio de curvatura R ( s ) en cada punto para el cual s está compuesta: $${\displaystyle T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.}$$

Supongamos que P es un punto en γ donde k ≠ 0. El centro de curvatura correspondiente es el punto Q situado a una distancia R a lo largo de N , en la misma dirección si k es positivo y en la dirección opuesta si k es negativo. La circunferencia con centro en Q y radio R se denomina circunferencia osculadora de la curva γ en el punto P.

Si C es una curva espacial regular , entonces el círculo osculador se define de manera similar, utilizando el vector normal principal N. Se encuentra en el plano osculador , el plano generado por los vectores normal tangente y principal T y N en el punto P.

La curva plana también puede expresarse mediante una parametrización regular diferente. $${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}}}$$ donde regular significa que${\displaystyle \gamma '(t)\neq 0}$a pesar de${\displaystyle t}$Entonces, las fórmulas para la curvatura con signo k ( t ), el vector unitario normal N ( t ), el radio de curvatura R ( t ) y el centro Q ( t ) del círculo osculador son: $${\displaystyle k(t)={\frac {x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}{\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}},\qquad N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}{x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}}\right|\qquad {\text{y}}\qquad Q(t)=\gamma (t)+{\frac {1}{k(t)\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}\,.}$$

Consideremos tres puntos${\textstyle P_{0}}$,${\textstyle P_{1}}$y${\textstyle P_{2}}$, dónde${\textstyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$Para hallar el centro del círculo que pasa por estos puntos, primero tenemos que hallar las bisectrices de los segmentos.${\textstyle P_{0}P_{1}}$y${\textstyle P_{1}P_{2}}$y luego el punto${\textstyle C}$donde se cruzan estas líneas. Por lo tanto, las coordenadas de${\textstyle C}$se obtienen resolviendo un sistema lineal de dos ecuaciones: $${\displaystyle \left(\delta x_{i}\right)x_{c}+\left(\delta y_{i}\right)y_{c}={\tfrac {1}{2}}\left(\delta ^{2}x_{i}+\delta ^{2}y_{i}\right)\quad i=1,2}$$ dónde${\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}$,${\textstyle \delta ^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}$para${\textstyle u=x,y}$.

Consideremos ahora la curva${\textstyle P=P(\tau )}$y establecer${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$,${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$y${\textstyle P_{2}=P(\tau +d\tau )}$. Al segundo orden en${\textstyle d\tau }$, tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta u_{1}=&{\dot {u}}d\tau -{\frac {1}{2}}{\ddot {u}}\,d\tau ^{2}\\\delta ^{2}u_{1}=&2u{\dot {u}}\,d\tau -d\tau ^{2}\left({\dot {u}}^{2}+u{\ddot {u}}\right)\end{aligned}}}$$ y una expresión similar para${\textstyle \delta u_{2}}$y${\textstyle \delta ^{2}u_{2}}$donde el signo de${\textstyle d\tau ^{2}}$se invierte. Desarrollando la ecuación para${\textstyle x_{c},y_{c}}$y agrupando los términos en${\textstyle d\tau }$y${\textstyle d\tau ^{2}}$, obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(x_{c}-x)+{\dot {y}}(y_{c}-y)&=0\\{\ddot {x}}(x_{c}-x)+{\ddot {y}}(y_{c}-y)&={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\end{aligned}}}$$ Denotando${\textstyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {P_{1}C}}}$, la primera ecuación significa que${\textstyle \mathbf {r} }$es ortogonal al vector tangente unitario en${\textstyle P_{1}}$: $${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {t} =0}$$ La segunda relación significa que $${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =1}$$ dónde $${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}{\begin{bmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{bmatrix}}}$$ es el vector de curvatura. En geometría plana,${\textstyle \mathbf {k} }$es ortogonal a${\textstyle \mathbf {t} }$porque $${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {k} =\mathbf {t} {\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(\mathbf {t} \cdot \mathbf {t} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(1)=0}$$Por lo tanto${\textstyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =kr}$y el radio del círculo osculador es precisamente el inverso de la curvatura.

Resolviendo la ecuación para las coordenadas de${\textstyle C}$, encontramos $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}-x=&{\frac {{\dot {y}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\\y_{c}-y=&{\frac {-{\dot {x}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\end{aligned}}}$$

Consideremos una curva${\textstyle C}$definido intrínsecamente por la ecuación $${\displaystyle f(x,y)=0}$$ que podemos visualizar como la sección de la superficie${\textstyle z=f(x,y)}$junto al avión${\textstyle z=0}$. Lo normal${\textstyle \mathbf {n} }$a la curva en un punto${\textstyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$es el gradiente en este punto$${\displaystyle \mathbf {n} =(f_{x},f_{y})}$$ Por lo tanto, los centros de los círculos tangentes${\textstyle B_{\alpha }}$son dados por $${\displaystyle X_{c}=x_{0}-\alpha f_{x}\,\,;\,\,Y_{c}=y_{0}-\alpha f_{y}}$$ dónde${\textstyle \alpha }$es parámetro. Para un dado${\textstyle \alpha ,}$el radio${\textstyle R}$de${\textstyle B_{\alpha }}$es$${\displaystyle R^{2}=\alpha ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})}$$Deseamos encontrar, entre todos los círculos posibles${\textstyle B_{\alpha }}$, la que mejor se ajusta a la curva.

Las coordenadas de un punto${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$se puede escribir como $${\displaystyle x_{1}=X_{c}+R\cos \theta \,\,;\,\,y_{1}=Y_{c}+R\sin \theta }$$ dónde para${\textstyle \theta =\theta _{0}}$,${\textstyle P_{1}=P_{0}}$, es decir $${\displaystyle R\cos \theta _{0}=\alpha f_{x}\,\,;\,\,R\sin \theta _{0}=\alpha f_{y}}$$ Consideremos ahora un punto${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$cerca de${\textstyle P_{0}}$, donde su "ángulo" es${\textstyle \theta _{1}=\theta _{0}+d\theta }$. Desarrollando las funciones trigonométricas hasta el segundo orden en${\textstyle d\theta }$y utilizando las relaciones anteriores, las coordenadas de${\displaystyle P_{1}}$son $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&x_{0}-\alpha f_{y}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{x}\left(d\theta \right)^{2}\\y_{1}=&y_{0}+\alpha f_{x}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{y}\left(d\theta \right)^{2}\end{aligned}}}$$ Ahora podemos evaluar la función.${\textstyle f}$en ese punto${\textstyle P_{1}}$y su variación ${\displaystyle f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})}$. La variación es cero al primer orden en${\textstyle d\theta }$por construcción (hasta el primer orden en${\textstyle \theta }$,${\textstyle P_{1}}$está sobre la línea tangente a la curva${\textstyle C}$). La variación proporcional a${\displaystyle (d\theta )^{2}}$es $${\displaystyle df=-{\frac {1}{2}}\alpha \left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)}$$ y esta variación es cero si elegimos $${\displaystyle \alpha ={\frac {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}{f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}}}}$$ Por lo tanto, el radio del círculo osculador es $${\displaystyle R=\left|{\frac {\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{3/2}}{\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)}}\right|}$$

Para una función explícita${\displaystyle f(x,y)=y-g(x)}$Aquí encontramos los resultados de la sección anterior.

Para una curva C dada por ecuaciones paramétricas suficientemente suaves (dos veces continuamente diferenciables), el círculo osculador se puede obtener mediante un procedimiento de límite: es el límite de los círculos que pasan por tres puntos distintos en C cuando estos puntos se aproximan a P. ^{[ 3 ]} Esto es completamente análogo a la construcción de la tangente a una curva como límite de las líneas secantes que pasan por pares de puntos distintos en C que se aproximan a P.

El círculo osculador S a una curva plana C en un punto regular P se puede caracterizar por las siguientes propiedades:

• El círculo S pasa por P.
• El círculo S y la curva C tienen la misma línea tangente en P y, por lo tanto, la misma línea normal.
• Cerca de P , la distancia entre los puntos de la curva C y el círculo S en la dirección normal disminuye como el cubo o una potencia superior de la distancia a P en la dirección tangencial.

Esto se suele expresar como "la curva y su círculo osculador tienen contacto de segundo orden o superior " en P. En términos generales, las funciones vectoriales que representan C y S coinciden junto con sus primeras y segundas derivadas en P.

Si la derivada de la curvatura con respecto a s es distinta de cero en P, entonces el círculo osculador cruza la curva C en P. Los puntos P en los que la derivada de la curvatura es cero se denominan vértices . Si P es un vértice, entonces C y su círculo osculador tienen contacto de orden al menos tres. Si, además, la curvatura tiene un máximo o mínimo local distinto de cero en P , entonces el círculo osculador toca la curva C en P , pero no la cruza.

La curva C se puede obtener como la envolvente de la familia uniparamétrica de sus círculos osculadores. Sus centros, es decir, los centros de curvatura, forman otra curva, llamada evoluta de C. Los vértices de C corresponden a puntos singulares de su evoluta.

Dentro de cualquier arco de una curva C cuya curvatura sea monótona (es decir, lejos de cualquier vértice de la curva), los círculos osculadores son todos disjuntos y están anidados unos dentro de otros. Este resultado se conoce como el teorema de Tait-Kneser . ^{[ 1 ]}

• Teorema de empaquetamiento de círculos
• Curva osculante
• Esfera osculadora

Para algunas notas históricas sobre el estudio de la curvatura, consulte

• Grattan-Guinness y HJM Bos (2000). Del cálculo a la teoría de conjuntos 1630-1910: Una historia introductoria . Princeton University Press. pág.  72. ISBN 0-691-07082-2.
• Roy Porter, ed. (2003). The Cambridge History of Science: v4 - Eighteenth Century Science . Cambridge University Press. p.  313. ISBN 0-521-57243-6.

Para su aplicación en maniobras de vehículos, consulte

• JC Alexander y JH Maddocks (1988): Sobre la maniobra de vehículos doi : 10.1137/0148002
• Murray S. Klamkin (1990). Problemas en matemáticas aplicadas: selección de la revista SIAM . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. pág.  1. ISBN 0-89871-259-9.

• Weisstein, Eric W. "Círculo osculador" . MathWorld .
• math3d  : círculo osculador