Ortonormalidad

¿Qué aspecto tiene un par de vectores ortonormales en un espacio euclidiano bidimensional?

Sea u = (x ₁ , y ₁ ) y v = (x ₂ , y ₂ ). Consideremos las restricciones sobre x ₁ , x ₂ , y ₁ , y ₂ necesarias para que u y v formen un par ortonormal.

• De la restricción de ortogonalidad, u • v = 0.
• De la restricción de longitud unitaria en u , || u || = 1.
• De la restricción de longitud unitaria en v , || v || = 1.

Al expandir estos términos se obtienen 3 ecuaciones:

1. ${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad }$
2. ${\displaystyle {\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1}$
3. ${\displaystyle {\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1}$

Convertir de coordenadas cartesianas a polares y considerar la ecuación${\displaystyle (2)}$y ecuación${\displaystyle (3)}$inmediatamente da como resultado r ₁ = r ₂ = 1. En otras palabras, exigir que los vectores tengan longitud unitaria restringe los vectores a estar sobre el círculo unitario .

Después de la sustitución, la ecuación${\displaystyle (1)}$se convierte ${\displaystyle \cos \theta _ {1}\cos \theta _ {2}+\sin \theta _ {1}\sin \theta _ {2}=0}$. Reorganizando se obtiene${\displaystyle \tan \theta _{1}=-\cot \theta _{2}}$. Usando una identidad trigonométrica para convertir el término cotangente se obtiene

${\displaystyle \tan(\theta _{1})=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}}$

Es evidente que, en el plano, los vectores ortonormales son simplemente radios del círculo unitario cuya diferencia de ángulos es igual a 90°.

Los conjuntos ortonormales poseen ciertas propiedades muy atractivas que hacen que sea particularmente fácil trabajar con ellos.

• Teorema . Si { e₁ _, e₂ _, ... , eₙ _} es una lista ortonormal de vectores, entonces$${\displaystyle \forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ \|a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}\|^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}}$$
• Teorema . Toda lista ortonormal de vectores es linealmente independiente .

• Teorema de Gram-Schmidt . Si { v ₁ , v ₂ ,..., v _n } es una lista linealmente independiente de vectores en un espacio con producto interno${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, entonces existe una lista ortonormal { e ₁ , e ₂ ,..., e _n } de vectores en${\displaystyle {\mathcal {V}}}$de tal manera que span ( e ₁ , e ₂ ,..., e _n ) = span ( v ₁ , v ₂ ,..., v _n ).

La demostración del teorema de Gram-Schmidt es constructiva y se discute extensamente en otro lugar. El teorema de Gram-Schmidt, junto con el axioma de elección , garantiza que todo espacio vectorial admite una base ortonormal. Este es posiblemente el uso más significativo de la ortonormalidad, ya que este hecho permite analizar los operadores en espacios con producto interno en términos de su acción sobre los vectores de la base ortonormal del espacio. El resultado es una profunda relación entre la diagonalización de un operador y cómo actúa sobre los vectores de la base ortonormal. Esta relación se caracteriza por el teorema espectral .

La base estándar para el espacio de coordenadas F ⁿ es

Cualquier par de vectores e _i , e _j donde i≠j son ortogonales, y todos los vectores tienen claramente longitud unitaria. Por lo tanto, { e ₁ , e ₂ ,..., e _n } forma una base ortonormal.

Cuando nos referimos a funciones de valor real , normalmente se asume el producto interno L² a menos que se indique lo contrario. Dos funciones${\displaystyle \phi (x)}$y${\displaystyle \psi (x)}$son ortonormales en el intervalo${\displaystyle [a,b]}$si

${\displaystyle (1)\quad \langle \phi (x),\psi (x)\rangle =\int _{a}^{b}\phi (x)\psi (x)dx=0,\quad {\rm {y}}}$

${\displaystyle (2)\quad ||\phi (x)||_{2}=||\psi (x)||_{2}=\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=1.}$

La serie de Fourier es un método para expresar una función periódica en términos de funciones base sinusoidales . Tomando C [−π,π] como el espacio de todas las funciones de valor real continuas en el intervalo [−π,π] y tomando el producto interno como

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx}$

Se puede demostrar que

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N} }$

forma un conjunto ortonormal.

Sin embargo, esto tiene poca importancia, ya que C [−π,π] es de dimensión infinita y un conjunto finito de vectores no puede generarlo. Pero, al eliminar la restricción de que n sea finito, el conjunto se vuelve denso en C [−π,π] y, por lo tanto, constituye una base ortonormal de C [−π,π].