espacio de secuencias de Orlicz

En matemáticas , un espacio de sucesiones de Orlicz es cualquiera de cierta clase de espacios lineales de sucesiones con valores escalares , dotado de una norma especial , especificada a continuación, bajo la cual forma un espacio de Banach . Los espacios de sucesiones de Orlicz generalizan el${\displaystyle \ell _{p}}$espacios, y como tales juegan un papel importante en el análisis funcional . Los espacios de sucesiones de Orlicz son ejemplos particulares de espacios de Orlicz .

Arreglar${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$de modo que${\displaystyle \mathbb {K} }$denota el campo escalar real o complejo. Decimos que una función${\displaystyle M:[0,\infty )\a [0,\infty )}$es una función de Orlicz si es continua, no decreciente y (quizás no estrictamente) convexa, con${\displaystyle M(0)=0}$y${\textstyle \lim _{t\to \infty }M(t)=\infty }$. En el caso especial en que existe${\displaystyle b>0}$con${\displaystyle M(t)=0}$a pesar de${\displaystyle t\in [0,b]}$Se le llama degenerado .

En lo que sigue, a menos que se indique lo contrario, asumiremos que todas las funciones de Orlicz no son degeneradas. Esto implica${\displaystyle M(t)>0}$a pesar de${\displaystyle t>0}$.

Para cada secuencia escalar${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$colocar

${\displaystyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{M}=\inf \left\{\rho >0:\sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )\leqslant 1\right\}.}$

A continuación, definimos el espacio de sucesiones de Orlicz con respecto a${\displaystyle M}$, denotado${\displaystyle \ell _{M}}$, como el espacio lineal de todos${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$de tal manera que${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )<\infty }$para algunos${\displaystyle \rho >0}$, dotado de la norma${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$.

Otras dos definiciones serán importantes en la discusión posterior. Una función de Orlicz${\displaystyle M}$Se dice que satisface la condición Δ ₂ en cero siempre que

${\displaystyle \limsup _{t\to 0}{\frac {M(2t)}{M(t)}}<\infty .}$

Denotamos por${\displaystyle h_{M}}$el subespacio de secuencias escalares${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{M}}$de tal manera que${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )<\infty }$a pesar de${\displaystyle \rho >0}$.

El espacio${\displaystyle \ell _{M}}$es un espacio de Banach y generaliza el clásico${\displaystyle \ell _{p}}$espacios en el siguiente sentido preciso: cuando${\displaystyle M(t)=t^{p}}$,${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$, entonces${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$coincide con el${\displaystyle \ell _{p}}$norma, y ​​por lo tanto${\displaystyle \ell _{M}=\ell _{p}}$; si${\displaystyle M}$entonces es la función de Orlicz degenerada${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$coincide con el${\displaystyle \ell _{\infty }}$norma, y ​​por lo tanto${\displaystyle \ell _{M}=\ell _{\infty }}$en este caso especial, y${\displaystyle h_{M}=c_{0}}$cuando${\displaystyle M}$es degenerado.

En general, los vectores unitarios pueden no formar una base para${\displaystyle \ell _{M}}$y por lo tanto, el siguiente resultado es de considerable importancia.

Teorema 1. Si${\displaystyle M}$Si es una función de Orlicz, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

Dos funciones de Orlicz${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$que satisfacen la condición Δ ₂ en cero se llaman equivalentes siempre que existan constantes positivas${\displaystyle A,B,b>0}$de tal manera que${\displaystyle AN(t)\leqslant M(t)\leqslant BN(t)}$a pesar de${\displaystyle t\in [0,b]}$. Este es el caso si y solo si las bases de vectores unitarios de${\displaystyle \ell _{M}}$y${\displaystyle \ell _{N}}$son equivalentes.

${\displaystyle \ell _{M}}$puede ser isomorfo a${\displaystyle \ell _{N}}$sin que sus bases de vectores unitarios sean equivalentes. (Véase el ejemplo a continuación de un espacio de sucesiones de Orlicz con dos bases simétricas no equivalentes).

Teorema 2. Sea${\displaystyle M}$Sea una función de Orlicz. Entonces${\displaystyle \ell _{M}}$es reflexivo si y solo si

${\displaystyle \liminf _{t\to 0}{\frac {tM'(t)}{M(t)}}>1\;\;}$y${\displaystyle \;\;\limsup _{t\to 0}{\frac {tM'(t)}{M(t)}}<\infty }$.

Teorema 3 (KJ Lindberg). Sea${\displaystyle X}$sea ​​un subespacio cerrado de dimensión infinita de un espacio de secuencias de Orlicz separable${\displaystyle \ell _{M}}$. Entonces${\displaystyle X}$tiene un subespacio${\displaystyle Y}$isomorfo a algún espacio de sucesiones de Orlicz${\displaystyle \ell _{N}}$para alguna función de Orlicz${\displaystyle N}$que satisface la condición Δ ₂ en cero. Si además${\displaystyle X}$entonces tiene una base incondicional${\displaystyle Y}$puede ser elegido para ser complementado en${\displaystyle X}$y si${\displaystyle X}$tiene una base simétrica entonces${\displaystyle X}$en sí mismo es isomorfo a${\displaystyle \ell _{N}}$.

Teorema 4 (Lindenstrauss/Tzafriri). Todo espacio de sucesiones de Orlicz separable${\displaystyle \ell _{M}}$contiene un subespacio isomorfo a${\displaystyle \ell _{p}}$para algunos${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$.

Corolario. Todo subespacio cerrado de dimensión infinita de un espacio de secuencias de Orlicz separable contiene otro subespacio isomorfo a${\displaystyle \ell _{p}}$para algunos${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$.

Tenga en cuenta que en el Teorema 4 anterior, la copia de${\displaystyle \ell _{p}}$No siempre se elige lo que se complementa, como muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo (Lindenstrauss/Tzafriri). Existe un espacio de sucesiones de Orlicz separable y reflexivo.${\displaystyle \ell _{M}}$que no contiene una copia complementada de${\displaystyle \ell _{p}}$para cualquier${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty }$. Este mismo espacio${\displaystyle \ell _{M}}$contiene al menos dos bases simétricas no equivalentes.

Teorema 5 (KJ Lindberg y Lindenstrauss/Tzafriri). Si${\displaystyle \ell _{M}}$es un espacio de sucesiones de Orlicz que satisface${\textstyle \liminf _{t\to 0}tM'(t)/M(t)=\limsup _{t\to 0}tM'(t)/M(t)}$(es decir, existe el límite bilateral) entonces todas las siguientes afirmaciones son verdaderas.

Ejemplo. Para cada${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$, la función de Orlicz${\displaystyle M(t)=t^{p}/(1-\log(t))}$satisface las condiciones del Teorema 5 anterior, pero no es equivalente a${\displaystyle t^{p}}$.

• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (1977), Espacios clásicos de Banach I, Espacios de secuencia , ISBN 978-3-642-66559-2
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (septiembre de 1971). "Sobre los espacios de secuencia de Orlicz" . Revista Israelí de Matemáticas . 10 (3): 379– 390. doi : 10.1007/BF02771656 .
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (diciembre de 1972). "Sobre los espacios de secuencia de Orlicz. II" . Revista Israelí de Matemáticas . 11 (4): 355– 379. doi : 10.1007/BF02761463 .
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (diciembre de 1973). "Sobre los espacios de secuencia de Orlicz III" . Revista Israelí de Matemáticas . 14 (4): 368– 389. doi : 10.1007/BF02764715 .