Estimación óptima

En estadística aplicada, la estimación óptima es un método de inversión matricial regularizado basado en el teorema de Bayes . Se utiliza con mucha frecuencia en las geociencias , particularmente para el sondeo atmosférico . Un problema de inversión matricial tiene la siguiente forma:

${\displaystyle \mathbf {A} {\vec {x}}={\vec {y}}}$

El concepto esencial es transformar la matriz, A , en una probabilidad condicional y las variables,${\displaystyle {\vec {x}}}$y${\displaystyle {\vec {y}}}$en distribuciones de probabilidad asumiendo estadísticas gaussianas y utilizando matrices de covarianza determinadas empíricamente.

Normalmente, se espera que las estadísticas de la mayoría de las mediciones sean gaussianas . Por ejemplo, para${\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})}$, podemos escribir:

${\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldsymbol {S_{y}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})\right]}$

donde m y n son los números de elementos en${\displaystyle {\vec {x}}}$y${\displaystyle {\vec {y}}}$respectivamente${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$es la matriz que se va a resolver (el modelo directo lineal o linealizado) y${\displaystyle {\boldsymbol {S_{y}}}}$es la matriz de covarianza del vector${\displaystyle {\vec {y}}}$Esto se puede hacer de manera similar para${\displaystyle {\vec {x}}}$:

${\displaystyle P({\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{m/2}|{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x_{a}}})^{T}{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x_{a}}})\right]}$

Aquí${\displaystyle P({\vec {x}})}$se considera la denominada distribución "a priori": ${\displaystyle {\widehat {x_{a}}}}$denota los valores a priori para${\displaystyle {\vec {x}}}$mientras${\displaystyle {\boldsymbol {S_{x_{a}}}}}$es su matriz de covarianza.

Lo bueno de las distribuciones gaussianas es que solo se necesitan dos parámetros para describirlas, por lo que todo el problema se puede convertir una vez más en matrices. Suponiendo que${\displaystyle P({\vec {x}}|{\vec {y}})}$adopta la siguiente forma:

${\displaystyle P({\vec {x}}|{\vec {y}})={\frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldsymbol {S_{x}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x}})^{T}{\boldsymbol {S_{x}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x}})\right]}$

${\displaystyle P({\vec {y}})}$puede ser ignorado ya que, para un valor dado de${\displaystyle {\vec {x}}}$, es simplemente un término de escala constante. Ahora es posible resolver para el valor esperado de${\displaystyle {\vec {x}}}$,${\displaystyle {\widehat {x}}}$y para su matriz de covarianza igualando${\displaystyle P({\vec {x}}|{\vec {y}})}$y${\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})P({\vec {x}})}$Esto produce las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle {\boldsymbol {S_{x}}}=({\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}^{-1}}}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {S_{x_{a}}^{-1}}})^{-1}}$

${\displaystyle {\widehat {x}}={\widehat {x_{a}}}+{\boldsymbol {S_{x}}}{\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}({\vec {y}}-{\boldsymbol {A}}{\widehat {x_{a}}})}$

Dado que utilizamos distribuciones gaussianas, el valor esperado es equivalente al valor máximo probable, por lo que esta también es una forma de estimación de máxima verosimilitud .

Normalmente, con la estimación óptima, además del vector de cantidades recuperadas, se devuelve una matriz adicional junto con la matriz de covarianza. A esta matriz se la denomina a veces matriz de resolución o núcleo de promediado y se calcula de la siguiente manera:

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}=({\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1})^{-1}{\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}{\boldsymbol {A}}}$

Esto nos indica, para un elemento dado del vector recuperado, qué proporción de los demás elementos del vector se encuentran mezclados. En el caso de la recuperación de información de perfil, generalmente indica la resolución de altitud para una altitud dada. Por ejemplo, si los vectores de resolución para todas las altitudes contienen elementos distintos de cero (con una tolerancia numérica) en sus cuatro vecinos más cercanos, entonces la resolución de altitud es solo una cuarta parte de la resolución real de la cuadrícula.

• Clive D. Rodgers (1976). "Recuperación de la temperatura y composición atmosféricas a partir de mediciones remotas de radiación térmica". Reviews of Geophysics and Space Physics . 14 (4): 609. Bibcode : 1976RvGSP..14..609R . doi : 10.1029/RG014i004p00609 .

• Clive D. Rodgers (2000). Métodos inversos para el sondeo atmosférico: teoría y práctica . World Scientific.

• Clive D. Rodgers (2002). "Teledetección atmosférica: el problema inverso". Actas de la Cuarta Escuela de Primavera Oxford/RAL sobre Observación Cuantitativa de la Tierra . Universidad de Oxford.