Condición de conjunto abierto

En geometría fractal , la condición de conjunto abierto ( OSC ) es una condición que se impone comúnmente en los fractales autosimilares. En cierto sentido, la condición impone restricciones a la superposición en una construcción fractal. ^[1] Específicamente, dado un sistema de funciones iteradas de aplicaciones contractivas , la condición de conjunto abierto requiere que exista un conjunto abierto no vacío V que satisfaga dos condiciones: ${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{m}}$

1. ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(V)\subseteq V,}$
2. Los conjuntos son disjuntos por pares.${\displaystyle \psi _{1}(V),\ldots ,\psi _{m}(V)}$

Introducida en 1946 por PAP Moran ^[2] , la condición de conjunto abierto se utiliza para calcular las dimensiones de ciertos fractales autosimilares, en particular la junta de Sierpinski. También se utiliza para simplificar el cálculo de la medida de empaquetamiento. ^[3]

Una declaración equivalente de la condición de conjunto abierto es requerir que la medida de Hausdorff s-dimensional del conjunto sea mayor que cero. ^[4]

Cuando se cumple la condición de conjunto abierto y cada uno es una semejanza (es decir, una composición de una isometría y una dilatación alrededor de algún punto), entonces el único punto fijo de es un conjunto cuya dimensión de Hausdorff es la única solución para s de los siguientes: ^[5]${\displaystyle \psi _{i}}$${\estilo de visualización \psi}$

${\displaystyle \suma _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.}$

donde r _i es la magnitud de la dilatación de la semejanza.

Con este teorema se puede calcular la dimensión de Hausdorff de la junta de Sierpinski. Considérense tres puntos no colineales a ₁ , a ₂ , a ₃ en el plano R ² y sea la dilatación de razón 1/2 alrededor de a _i . El único punto fijo no vacío de la aplicación correspondiente es una junta de Sierpinski, y la dimensión s es la única solución de ${\displaystyle \psi _{i}}$${\estilo de visualización \psi}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{s}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{s}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{s}=3\left({\frac {1}{2}}\right)^{s}=1.}$

Tomando los logaritmos naturales de ambos lados de la ecuación anterior, podemos resolver s , es decir: s = ln(3)/ln(2). La junta de Sierpinski es autosimilar y satisface el OSC.

La condición de conjunto abierto fuerte (SOSC) es una extensión de la condición de conjunto abierto. Un fractal F satisface la SOSC si, además de satisfacer la OSC, la intersección entre F y el conjunto abierto V no está vacía. ^[6] Las dos condiciones son equivalentes para conjuntos autosimilares y autoconformes, pero no para ciertas clases de otros conjuntos, como sistemas de funciones con aplicaciones infinitas y en espacios métricos no euclidianos. ^{[7] [8]} En estos casos, SOCS es de hecho una condición más fuerte.

• Conjunto de cantor
• Lista de fractales según la dimensión de Hausdorff
• Dimensión de Minkowski-Bouligand
• Dimensiones del embalaje