Método de constante de tiempo de circuito abierto

El método de la constante de tiempo de circuito abierto (OCT) es una técnica de análisis aproximado que se utiliza en el diseño de circuitos electrónicos para determinar la frecuencia de esquina de circuitos complejos . Es un caso especial de la técnica del método de la constante de tiempo de valor cero (ZVT) cuando los elementos reactivos consisten únicamente en condensadores. El método de la constante de tiempo de valor cero (ZVT) en sí mismo es un caso especial del análisis general de la constante de tiempo y transferencia (TTC) que permite la evaluación completa de los ceros y polos de cualquier sistema LTI concentrado con inductores y condensadores como elementos reactivos utilizando constantes de tiempo y constantes de transferencia . El método OCT proporciona una evaluación rápida e identifica las mayores contribuciones a las constantes de tiempo como guía para las mejoras del circuito.

La base del método es la aproximación de que la frecuencia de corte del amplificador está determinada por el término en el denominador de su función de transferencia que es lineal en frecuencia. Esta aproximación puede ser extremadamente inexacta en algunos casos donde un cero en el numerador está cerca en frecuencia. ^[1] Si todos los polos son reales y no hay ceros, esta aproximación es siempre conservadora, en el sentido de que la inversa de la suma de las constantes de tiempo de valor cero es menor que la frecuencia de corte real del circuito. ^[2]

El método también utiliza un método simplificado para encontrar el término lineal en frecuencia basado en la suma de los productos RC para cada capacitor en el circuito, donde la resistencia R para un capacitor seleccionado es la resistencia encontrada al insertar una fuente de prueba en su sitio y configurar todos los demás capacitores a cero. De ahí el nombre de técnica de constante de tiempo de valor cero .

La figura 1 muestra un filtro de paso bajo RC simple. Su función de transferencia se obtiene utilizando la ley de corriente de Kirchhoff de la siguiente manera. En la salida,

${\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{O}}{R_{2}}}=j\omega C_{2}V_{O}\ ,}$

donde V ₁ es el voltaje en la parte superior del capacitor C ₁ . En el nodo central:

${\displaystyle {\frac {V_{S}-V_{1}}{R_{1}}}=j\omega C_{1}V_{1}+{\frac {V_{1}-V_{O} }{R_ {2}}}\ .}$

Combinando estas relaciones se obtiene como resultado la función de transferencia:

${\displaystyle {\frac {V_{O}}{V_{S}}}={\frac {1}{1+j\omega \left(C_{2}(R_{1}+R_{2})+C_{1}R_{1}\right)+(j\omega )^{2}C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}}}$

El término lineal en j ω en esta función de transferencia se puede derivar mediante el siguiente método, que es una aplicación del método de constante de tiempo de circuito abierto a este ejemplo.

1. Establezca la fuente de señal en cero.
2. Seleccione el capacitor C ₂ , reemplácelo por un voltaje de prueba V _X y reemplace C ₁ por un circuito abierto. Luego, la resistencia observada por el voltaje de prueba se encuentra utilizando el circuito en el panel central de la Figura 1 y es simplemente V _X / I _X = R ₁ + R ₂ . Forme el producto C ₂ ( R ₁ + R ₂ ).
3. Seleccione el capacitor C ₁ , reemplácelo por un voltaje de prueba V _X y reemplace C ₂ por un circuito abierto. Luego, la resistencia que se ve con el voltaje de prueba se encuentra utilizando el circuito en el panel derecho de la Figura 1 y es simplemente V _X / I _X = R ₁ . Forme el producto C ₁ R ₁ .
4. Añade estos términos.

En efecto, es como si cada condensador se cargara y descargara a través de la resistencia que se encuentra en el circuito cuando el otro condensador es un circuito abierto.

El procedimiento de la constante de tiempo de circuito abierto proporciona el término lineal en j ω independientemente de lo compleja que se vuelva la red RC. Esto fue desarrollado y demostrado originalmente mediante el cálculo de los cofactores de la matriz de admitancia por Thornton y Searle. ^[3] Hajimiri desarrolló posteriormente una prueba inductiva más intuitiva de esto (y otras propiedades de la TTC). ^[4]

Para un circuito complejo, el procedimiento consiste en seguir las reglas anteriores, pasando por todos los capacitores del circuito. Una derivación más general se encuentra en Gray y Meyer. ^[5]

Hasta ahora el resultado es general, pero se introduce una aproximación para aprovechar este resultado: se supone que este término lineal en j ω determina la frecuencia de esquina del circuito.

Esta suposición se puede examinar más de cerca utilizando el ejemplo de la Figura 1: supongamos que las constantes de tiempo de este circuito son τ ₁ y τ ₂ ; es decir:

${\displaystyle \left(1+j\omega {\tau }_{1})(1+j\omega {\tau }_{2}\right)=1+j\omega \left(C_{2}(R_{1}+R_{2})+C_{1}R_{1}\right)+(j\omega )^{2}C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}$

Comparando los coeficientes de los términos lineales y cuadráticos en j ω, resulta:

${\displaystyle \tau _{1}+\tau _{2}=C_{2}(R_{1}+R_{2})+C_{1}R_{1}\ ,}$

${\displaystyle \tau _ {1} \ tau _ {2} = C_ {1} C_ {2} R_ {1} R_ {2} \ .}$

Una de las dos constantes de tiempo será la más larga; sea τ ₁ . Supongamos por el momento que es mucho mayor que la otra, τ ₁ >> τ ₂ . En este caso, las aproximaciones son las siguientes:

${\displaystyle \tau _{1}+\tau _{2}\approx \tau _{1}\ ,}$

y

${\displaystyle \tau _{2}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}}}\approx {\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}\ .}$

En otras palabras, sustituyendo los valores RC:

${\displaystyle \tau _{1}\approx {\hat {\tau _{1}}}=\ \tau _{1}+\tau _{2}=C_{2}(R_{1}+R_{2})+C_{1}R_{1}\ ,}$

y

${\displaystyle \tau _{2}\approx {\hat {\tau _{2}}}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\ tau _ {2}}} = {\frac {C_ {1} C_ {2} R_ {1} R_ {2}} {C_ {2} (R_ {1} + R_ {2}) + C_ {1} R_ {1}}}\ ,}$

donde ( ^ ) denota el resultado aproximado. Como acotación al margen, observe que las constantes de tiempo del circuito involucran a ambos capacitores; en otras palabras, en general, las constantes de tiempo del circuito no están determinadas por ningún capacitor individual. Con estos resultados, es fácil explorar qué tan bien se da la frecuencia de esquina (la frecuencia de 3 dB)

${\displaystyle f_{3dB}={\frac {1}{2\pi {\hat {\tau _{1}}}}}\ ,}$

a medida que varían los parámetros. Además, la función de transferencia exacta se puede comparar con la aproximada, es decir,

${\displaystyle {\frac {1}{(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})}}\ }$ ${\estilo de visualización \ }$   con   ${\estilo de visualización \ }$ ${\displaystyle \ {\frac {1}{(1+j\omega {\hat {\tau _{1}}})(1+j\omega {\hat {\tau _{2}}})} }\ .}$

Por supuesto, el acuerdo es bueno cuando el supuesto τ ₁ >> τ ₂ es correcto.

La figura 2 ilustra la aproximación. El eje x es la relación τ ₁ / τ ₂ en una escala logarítmica. Un aumento en esta variable significa que el polo superior está más arriba de la frecuencia de esquina. El eje y es la relación entre la estimación de OCTC (constante de tiempo de circuito abierto) y la constante de tiempo real. Para el polo más bajo, utilice la curva T_1; esta curva se refiere a la frecuencia de esquina; y para el polo superior, utilice la curva T_2. La peor concordancia es para τ ₁ = τ ₂ . En este caso, τ ^{^} ₁ = 2 τ ₁ y la frecuencia de esquina es un factor de 2 demasiado pequeña. El polo superior es un factor de 2 demasiado alto (su constante de tiempo es la mitad del valor real).

En todos los casos, la frecuencia de esquina estimada es más cercana que un factor de dos de la real, y siempre es conservadora , es decir, menor que la esquina real, por lo que el circuito real se comportará mejor de lo previsto. Sin embargo, el polo más alto siempre es optimista , es decir, predice el polo alto a una frecuencia más alta de lo que realmente es el caso. Para utilizar estas estimaciones para predicciones de respuesta al escalón , que dependen de la relación de las dos frecuencias de polo (consulte el artículo sobre división de polos para ver un ejemplo), la Figura 2 sugiere que se necesita una relación bastante grande de τ ₁ / τ ₂ para la precisión porque los errores en τ ^{^} ₁ y τ ^{^} ₂ se refuerzan entre sí en la relación τ ^{^} ₁ / τ ^{^} ₂ .

El método de la constante de tiempo de circuito abierto se centra únicamente en la frecuencia de esquina, pero como se vio anteriormente, también son posibles realizar estimaciones para polos superiores.

La aplicación del método de constante de tiempo de circuito abierto a varias etapas amplificadoras de un solo transistor se puede encontrar en Pittet y Kandaswamy. ^[6]