Octal

Los ocho bagua o trigramas del I Ching corresponden a dígitos octales:

• 0 = ☷, 1 = ☳, 2 = ☵, 3 = ☱,
• 4 = ☶, 5 = ☲, 6 = ☴, 7 = ☰.

Gottfried Wilhelm Leibniz estableció la conexión entre trigramas, hexagramas y números binarios en 1703. ^{[ 1 ]}

• El idioma yuki de California tiene un sistema octal porque los hablantes cuentan usando los espacios entre sus dedos en lugar de los dedos mismos. ^{[ 2 ]}
• Las lenguas pameanas de México también tienen un sistema octal, porque algunos de sus hablantes "cuentan los nudillos del puño cerrado para cada mano (excluyendo el pulgar), de modo que dos manos equivalen a ocho". ^{[ 3 ]}

• Se ha sugerido que la palabra protoindoeuropea (PIE) reconstruida para "nueve" podría estar relacionada con la palabra PIE para "nuevo". Basándose en esto, algunos han especulado que los protoindoeuropeos usaban un sistema de numeración octal, aunque la evidencia que lo respalda es escasa. ^{[ 4 ]}
• En 1668, John Wilkins, en su obra Ensayo hacia un carácter real y un lenguaje filosófico, propuso el uso de la base 8 en lugar de la 10 «porque, siendo la dicotomía o bipartición la forma más natural y sencilla de división, ese número es capaz de llegar hasta la unidad». ^{[ 5 ]}
• En 1716, el rey Carlos XII de Suecia le pidió a Emanuel Swedenborg que elaborara un sistema numérico basado en 64 en lugar de 10. Swedenborg argumentó, sin embargo, que para personas con menor inteligencia que el rey una base tan grande sería demasiado difícil y propuso en su lugar 8 como base. En 1718, Swedenborg escribió (pero no publicó) un manuscrito: " En ny rekenkonst som om vexlas wid Thalet 8 i stelle then wanliga wid Thalet 10 " ("Una nueva aritmética (o arte de contar) que cambia en el número 8 en lugar del habitual en el número 10"). Los números del 1 al 7 se denotan allí con las consonantes l, s, n, m, t, f, u (v) y el cero con la vocal o. Así, 8 = "lo", 16 = "so", 24 = "no", 64 = "loo", 512 = "looo", etc. Los números con consonantes consecutivas se pronuncian con sonidos vocálicos entre ellas según una regla especial. ^{[ 6 ]}
• Escribiendo bajo el seudónimo de "Hirossa Ap-Iccim" en The Gentleman's Magazine (Londres), en julio de 1745, Hugh Jones propuso un sistema octal para las monedas, pesos y medidas británicas. «Considerando que la razón y la conveniencia nos indican un estándar uniforme para todas las cantidades, al que llamaré estándar georgiano , que consiste simplemente en dividir cada número entero de cada especie en ocho partes iguales, y cada parte a su vez en ocho partículas reales o imaginarias, en la medida necesaria. Pues aunque todas las naciones cuentan universalmente de diez en diez (originalmente debido al número de dígitos en ambas manos), el 8 es un número mucho más completo y conveniente, puesto que es divisible en mitades, cuartos y medios cuartos (o unidades) sin fracción, de la cual la subdivisión del diez es incapaz...» En un tratado posterior sobre el cálculo por octavas (1753), Jones concluyó: «La aritmética por octavas parece la más acorde con la naturaleza de las cosas y, por lo tanto, puede llamarse aritmética natural, en oposición a la que se usa actualmente por décadas, que puede considerarse aritmética artificial.» ^{[ 7 ]}
• En 1801, James Anderson criticó a los franceses por basar el sistema métrico en la aritmética decimal. Sugirió la base 8, para la cual acuñó el término octal . Su obra estaba concebida como una obra de matemáticas recreativas, pero propuso un sistema de pesos y medidas puramente octal y observó que el sistema de unidades inglés existente ya era, en gran medida, un sistema octal. ^{[ 8 ]}
• A mediados del siglo XIX, Alfred B. Taylor concluyó que "Nuestra base octogonal [base 8] es, por lo tanto, sin comparación alguna, la " mejor posible " para un sistema aritmético". La propuesta incluía una notación gráfica para los dígitos y nuevos nombres para los números, sugiriendo que deberíamos contar " un , du , the , fo , pa , se , ki , unty , unty-un , unty-du " y así sucesivamente, con múltiplos sucesivos de ocho llamados " unty , duty , thety , foty , paty , sety , kity y under ". Así, por ejemplo, el número 65 (101 en octal) se diría en octal como under-un . ^{[ 9 ] [ 10 ]} Taylor también republicó parte del trabajo de Swedenborg sobre el octal como apéndice a las publicaciones citadas anteriormente.

El sistema octal se popularizó en la informática cuando sistemas como el UNIVAC 1050 , el PDP-8 , el ICL 1900 y los mainframes de IBM empleaban palabras de 6 , 12 , 24 o 36 bits . El octal era una abreviatura ideal del binario para estas máquinas, ya que el tamaño de su palabra es divisible por tres (cada dígito octal representa tres dígitos binarios). De esta forma, dos, cuatro, ocho o doce dígitos podían mostrar de forma concisa una palabra completa de la máquina . Además, redujo costes al permitir el uso de tubos Nixie , pantallas de siete segmentos y calculadoras en las consolas de los operadores, donde las pantallas binarias eran demasiado complejas, las pantallas decimales requerían hardware complejo para la conversión de bases y las pantallas hexadecimales necesitaban mostrar más números.

Sin embargo, todas las plataformas informáticas modernas utilizan palabras de 16, 32 o 64 bits, divididas a su vez en bytes de ocho bits . En estos sistemas, se requerirían tres dígitos octales por byte, donde el dígito octal más significativo representa dos dígitos binarios (más un bit del siguiente byte significativo, si lo hubiera). La representación octal de una palabra de 16 bits requiere 6  dígitos, pero el dígito octal más significativo representa (de forma bastante poco elegante) solo un bit (0 o 1). Esta representación no ofrece una manera sencilla de leer el byte más significativo, ya que está distribuido en cuatro dígitos octales. Por lo tanto, el sistema hexadecimal se utiliza con mayor frecuencia en los lenguajes de programación actuales, ya que dos dígitos hexadecimales especifican exactamente un byte. Algunas plataformas con un tamaño de palabra que es potencia de dos aún tienen subpalabras de instrucciones que se entienden mejor si se muestran en octal; esto incluye la familia PDP-11 y Motorola 68000 . La arquitectura x86, omnipresente en la actualidad , también pertenece a esta categoría, pero el octal rara vez se usa en esta plataforma, aunque ciertas propiedades de la codificación binaria de los códigos de operación se hacen más evidentes cuando se muestran en octal, por ejemplo, el byte ModRM, que se divide en campos de 2, 3 y 3 bits, por lo que el octal puede ser útil para describir estas codificaciones. Antes de la disponibilidad de los ensambladores , algunos programadores escribían programas manualmente en octal; por ejemplo, Dick Whipple y John Arnold escribieron Tiny BASIC Extended directamente en código máquina, usando octal. ^{[ 11 ]}

En informática, a veces se utiliza el sistema octal en lugar del hexadecimal, sobre todo en la actualidad, en relación con los permisos de archivos en sistemas Unix (véase chmod ). Tiene la ventaja de no requerir símbolos adicionales como dígitos (el sistema hexadecimal es de base 16 y, por lo tanto, necesita seis símbolos adicionales además de los dígitos del 0 al 9).

En los lenguajes de programación, los literales octales se identifican típicamente con una variedad de prefijos , incluyendo el dígito 0, las letras oo q, la combinación dígito-letra 0o, o el símbolo &^{[ 12 ]} o $. En la convención de Motorola , los números octales se prefijan con , mientras que una letra @minúscula (o mayúscula ^{[ 13 ] )} o^{[ 13 ]} o q^{[ 13 ]} se agrega como sufijo siguiendo la convención de Intel . ^{[ 14 ] [ 15 ]} En Concurrent DOS , Multiuser DOS y REAL/32, así como en DOS Plus y DR-DOS, varias variables de entorno como $CLS , $ON , $OFF , $HEADER o $FOOTER admiten una \nnnnotación de número octal, ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} y DR-DOS DEBUG utiliza \para prefijar también los números octales.

Por ejemplo, el literal 73 (base 8) podría representarse como 073, o73, q73, 0o73, \73, @73, &73, $73o 73oen varios idiomas.

Los lenguajes más recientes han estado abandonando el prefijo 0, ya que los números decimales a menudo se representan con ceros iniciales. El prefijo qse introdujo para evitar que el prefijo ose confundiera con un cero, mientras que el prefijo 0ose introdujo para evitar que un literal numérico comenzara con un carácter alfabético (como oo q), ya que estos podrían causar que el literal se confundiera con un nombre de variable. El prefijo 0otambién sigue el modelo establecido por el prefijo 0xutilizado para literales hexadecimales en el lenguaje C ; Es compatible con Haskell , ^{[ 19 ]} OCaml , ^{[ 20 ]} Python a partir de la versión 3.0, ^{[ 21 ]} Raku , ^{[ 22 ]} Ruby , ^{[ 23 ]} Tcl a partir de la versión 9, ^{[ 24 ]} PHP a partir de la versión 8.1, ^{[ 25 ]} Rust ^{[ 26 ]} y ECMAScript a partir de ECMAScript 6 ^{[ 27 ]} (el prefijo 0originalmente representaba la base 8 en JavaScript , pero podía causar confusión, ^{[ 28 ]} por lo que se desaconsejó en ECMAScript 3 y se eliminó en ECMAScript 5 ^{[ 29 ]} ).

Los números octales se utilizan en algunos lenguajes de programación (C, Perl , PostScript ...) para representaciones textuales/gráficas de cadenas de bytes cuando algunos valores de byte (no representados en una página de códigos, no gráficos, con un significado especial en el contexto actual o no deseados por otros motivos) deben escaparse como . \nnnLa representación octal puede ser particularmente útil con bytes no ASCII de UTF-8 , que codifica grupos de 6 bits, y donde cualquier byte de inicio tiene un valor octal \3nny cualquier byte de continuación tiene un valor octal \2nn.

El sistema octal también se utilizó para el cálculo de punto flotante en los ordenadores Ferranti Atlas (1962), Burroughs B5500 (1964), Burroughs B5700 (1971), Burroughs B6700 (1971) y Burroughs B7700 (1972).

Los transpondedores de las aeronaves transmiten un código de identificación , expresado como un número de cuatro dígitos, cuando son interrogados por el radar terrestre. Este código se utiliza para distinguir las diferentes aeronaves en la pantalla del radar.

Para convertir un número k a decimal, utilice la fórmula que define su representación en base 8:

${\displaystyle k=\sum _{i=0}^{n}\left(a_{i}\times 8^{i}\right)}$

En esta fórmula, i es un dígito octal individual que se está convirtiendo, donde i es la _posición del dígito (contando desde 0 para el dígito más a la derecha).

Ejemplo: Convertir 764 ₈ a decimal:

764 ₈ = 7 × 8 ² + 6 × 8 ¹ + 4 × 8 ⁰ = 448 + 48 + 4 = 500 ₁₀

Para números octales de dos dígitos, este método consiste en multiplicar el primer dígito por 8 y sumar el segundo dígito para obtener el total.

Ejemplo: 65 ₈ = 6 × 8 + 5 = 53 ₁₀

0,1 1 4 6 6 valor octal -0 ----------- 1.1 4 6 6 - 2 ---------- 9.4 6 6 - 1 8 ---------- 7 6.6 6 - 1 5 2 ---------- 6 1 4.6 - 1 2 2 8 ---------- 4 9 1 8. valor decimal 

Para convertir un número octal a binario, sustituya cada dígito octal por su representación binaria.

Ejemplo: Convertir 51 ₈ a binario:

5 ₈ = 101 ₂

1 ₈ = 001 ₂

Por lo tanto, 51 ₈ = 101 001 ₂ .

El proceso es el inverso del algoritmo anterior. Los dígitos binarios se agrupan de tres en tres, comenzando por el bit menos significativo y continuando hacia la izquierda y hacia la derecha. Se añaden ceros iniciales (o ceros finales a la derecha del punto decimal) para completar el último grupo de tres, si es necesario. A continuación, se reemplaza cada trío con el dígito octal equivalente.

Por ejemplo, convierta el número binario 1010111100 a octal:

Por lo tanto, 1010111100 ₂ = 1274 ₈ .

Convertir el número binario 11100.01001 a octal:

Por lo tanto, 11100.01001 ₂ = 34.22 ₈ .

La conversión se realiza en dos pasos utilizando el sistema binario como base intermedia. El sistema octal se convierte a binario y, a continuación, el binario a hexadecimal, agrupando los dígitos de cuatro en cuatro, cada uno de los cuales corresponde a un dígito hexadecimal.

Por ejemplo, convierta el número octal 1057 a hexadecimal:

A binario:

luego a hexadecimal:

Por lo tanto, 1057 ₈ = 22F ₁₆ .

La conversión de hexadecimal a octal se realiza convirtiendo primero los dígitos hexadecimales en valores binarios de 4 bits y, a continuación, reagrupando los bits binarios en dígitos octales de 3 bits.

Por ejemplo, para convertir 3FA5 ₁₆ :

A binario:

luego a octal:

Por lo tanto, 3FA5 ₁₆ = 37645 ₈ .

Al igual que ocurre con todos los sistemas numéricos que tienen como base una potencia de dos , casi todas las fracciones octales tienen dígitos que se repiten , con la única excepción de aquellas en las que el denominador es a su vez una potencia de dos.

La tabla que aparece a continuación muestra las expansiones de algunos números irracionales comunes en formato decimal y octal.