Número octogonal

Un número octogonal es un número figurado que da la cantidad de puntos en una determinada disposición octogonal . El número octogonal para n se da mediante la fórmula 3 n ² − 2 n , con n > 0. Los primeros números octogonales son

1 , 8 , 21 , 40 , 65 , 96 , 133 , 176 , 225, 280 , 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936 (secuencia A000567 en la OEIS )

El número octogonal para n también se puede calcular sumando el cuadrado de n al doble del ( n − 1)ésimo número pronico .

Los números octagonales alternan consistentemente la paridad .

A los números octogonales se los denomina ocasionalmente " números estrella ", aunque ese término se utiliza más comúnmente para referirse a números dodecagonales centrados. ^[1]

El número octogonal n es el número de particiones de en 1, 2 o 3. ^[2] Por ejemplo, existen particiones para , a saber: ${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización 6n-5}$$Estilo de visualización x_{2}=8$${\displaystyle 2\cdot 6-5=7}$

[1,1,1,1,1,1,1], [1,1,1,1,1,2], [1,1,1,1,3], [1,1,1,2,2], [1,1,2,3], [1,2,2,2], [1,3,3] y [2,2,3].

Una fórmula para la suma de los recíprocos de los números octogonales está dada por ^[3] $${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {\frac {1}{n(3n-2)}}={\frac {9\ln(3)+{\sqrt {3}}\pi} {12}}.}$$

Resolviendo la fórmula para el n -ésimo número octagonal, para n se obtiene Se puede comprobar la octagonalidad de un número arbitrario x colocándolo en esta ecuación. Si n es un entero, entonces x es el n -ésimo número octagonal. Si n no es un entero, entonces x no es octagonal. ${\displaystyle x_{n},}$$${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {3x_{n}+1}}+1}{3}}.}$$

• Número octogonal centrado