Notación en probabilidad y estadística

La teoría de la probabilidad y la estadística tienen algunas convenciones de uso común, además de la notación matemática estándar y los símbolos matemáticos .

• Las variables aleatorias se suelen escribir en letras romanas mayúsculas , como por ejemplo:${\textstyle X}$o${\textstyle Y}$y así sucesivamente. Las variables aleatorias, en este contexto, suelen referirse a algo en palabras, como "la altura de un sujeto" para una variable continua, o "el número de coches en el aparcamiento del colegio" para una variable discreta, o "el color de la siguiente bicicleta" para una variable categórica. No representan un único número ni una única categoría. Por ejemplo, si${\displaystyle P(X=x)}$se escribe, entonces representa la probabilidad de que una realización particular de una variable aleatoria (por ejemplo, altura, número de coches o color de la bicicleta), X , sea igual a un valor o categoría particular (por ejemplo, 1,735 m, 52 o morado),${\textstyle x}$Es importante que${\textstyle X}$y${\textstyle x}$no se confunden y significan lo mismo.${\textstyle X}$es una idea,${\textstyle x}$es un valor. Claramente están relacionados, pero no tienen significados idénticos.
• Las realizaciones particulares de una variable aleatoria se escriben con las letras minúsculas correspondientes . Por ejemplo,${\textstyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$podría ser una muestra correspondiente a la variable aleatoria ${\textstyle X}$Una probabilidad acumulada se escribe formalmente${\displaystyle P(X\leq x)}$para distinguir la variable aleatoria de su realización. ^{[ 1 ]}
• La probabilidad a veces se escribe${\displaystyle \mathbb {P} }$para distinguirla de otras funciones y medir P para evitar tener que definir " P es una probabilidad" y${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)}$es la abreviatura de${\displaystyle P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in A\})}$, dónde${\displaystyle \Omega }$es el espacio muestral,${\displaystyle X}$es una variable aleatoria que es función de${\displaystyle \omega }$(es decir, depende de${\displaystyle \omega }$), y${\displaystyle \omega }$es algún resultado de interés dentro del dominio especificado por${\displaystyle \Omega }$(por ejemplo, una altura determinada o un color específico de un coche).${\displaystyle \Pr(A)}$La notación se utiliza alternativamente.
• ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)}$o${\displaystyle \mathbb {P} [B\cap A]}$indica la probabilidad de que ocurran los eventos A y B simultáneamente. La distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X e Y se denota como${\displaystyle P(X,Y)}$, mientras que la función de masa de probabilidad conjunta o la función de densidad de probabilidad como${\displaystyle f(x,y)}$y función de distribución acumulativa conjunta como${\displaystyle F(x,y)}$.
• ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)}$o${\displaystyle \mathbb {P} [B\cup A]}$indica la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B ("o" en este caso significa uno u otro o ambos ).
• Las σ-álgebras se suelen escribir con letras mayúsculas caligráficas (por ejemplo${\displaystyle {\mathcal {F}}}$para el conjunto de conjuntos sobre los que definimos la probabilidad P )
• Las funciones de densidad de probabilidad (pdf) y las funciones de masa de probabilidad se denotan con letras minúsculas, por ejemplo${\displaystyle f(x)}$, o${\displaystyle f_{X}(x)}$.
• Las funciones de distribución acumulativa (FDA) se denotan con letras mayúsculas, por ejemplo${\displaystyle F(x)}$, o${\displaystyle F_{X}(x)}$.
• Las funciones de supervivencia o funciones de distribución acumulativa complementarias se suelen denotar colocando una barra superior sobre el símbolo de la función acumulativa:${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$, o denotado como${\displaystyle S(x)}$,
• En particular, la función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar se denota por${\textstyle \varphi (z)}$y su cdf por${\textstyle \Phi (z)}$.
• Algunos operadores comunes:

• ${\textstyle \mathrm {E} [X]}$: valor esperado de X
• ${\textstyle \operatorname {var} [X]}$: varianza de X
• ${\textstyle \operatorname {cov} [X,Y]}$: covarianza de X e Y

• X es independiente de Y, a menudo se escribe${\displaystyle X\perp Y}$o${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y}$y X es independiente de Y dado que W se escribe a menudo

${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\,|\,W}$o

${\displaystyle X\perp Y\,|\,W}$

• ${\displaystyle \textstyle P(A\mid B)}$, la probabilidad condicional , es la probabilidad de${\displaystyle \textstyle A}$dado${\displaystyle \textstyle B}$^{[ 2 ]}

• Las letras griegas (por ejemplo , θ , β ) se utilizan comúnmente para denotar parámetros desconocidos (parámetros de población). ^{[ 3 ]}
• A continuación se muestran algunos símbolos de uso común para los parámetros de población o distribución :
  • la media poblacional${\textstyle \mu }$,
  • la varianza poblacional${\textstyle \sigma ^{2}}$,
  • la desviación estándar de la población${\textstyle \sigma }$,
  • la correlación poblacional${\textstyle \rho }$,
  • los cumulantes de población${\textstyle \kappa _{r}}$,
• Una tilde (~) denota "tiene la distribución de probabilidad de".
• Colocar un sombrero, o circunflejo (también conocido como acento circunflejo), sobre un parámetro verdadero denota un estimador del mismo, por ejemplo,${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$es un estimador para${\displaystyle \theta }$.
• La media aritmética de una serie de valores${\textstyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$a menudo se indica colocando una " barra superior " sobre el símbolo, por ejemplo${\displaystyle {\bar {x}}}$, pronunciado "${\textstyle x}$bar".
• A continuación se muestran algunos símbolos de uso común para las estadísticas de muestra :
  • la media de la muestra${\displaystyle {\bar {x}}}$,
  • la varianza de la muestra${\textstyle s^{2}}$,
  • la desviación estándar de la muestra${\textstyle s}$,
  • el coeficiente de correlación de la muestra${\textstyle r}$,
  • los cumulantes de muestra${\textstyle k_{r}}$.
• ${\displaystyle x_{(k)}}$se utiliza para el${\displaystyle k^{\text{o}}}$estadística de orden , donde${\displaystyle x_{(1)}}$es el mínimo de la muestra y${\displaystyle x_{(n)}}$es el máximo de la muestra de un tamaño total de muestra${\textstyle n}$. ^{[ 4 ]}

El valor crítico superior de nivel α de una distribución de probabilidad es el valor que se supera con probabilidad${\textstyle \alpha }$, es decir, el valor${\textstyle x_{\alpha }}$de tal manera que${\textstyle F(x_{\alpha })=1-\alpha }$, dónde${\textstyle F}$es la función de distribución acumulativa. Existen notaciones estándar para los valores críticos superiores de algunas distribuciones comúnmente utilizadas en estadística:

• ${\textstyle z_{\alpha }}$o${\textstyle z(\alpha )}$para la distribución normal estándar
• ${\textstyle t_{\alpha ,\nu }}$o${\textstyle t(\alpha ,\nu )}$para la distribución t con${\textstyle \nu }$grados de libertad
• ${\displaystyle {\chi _{\alpha ,\nu }}^{2}}$o${\displaystyle {\chi }^{2}(\alpha ,\nu )}$para la distribución chi-cuadrado con${\textstyle \nu }$grados de libertad
• ${\displaystyle F_{\alpha ,\nu _{1},\nu _{2}}}$o${\textstyle F(\alpha ,\nu _{1},\nu _{2})}$para la distribución F con${\textstyle \nu _{1}}$y${\textstyle \nu _{2}}$grados de libertad

• Las matrices se suelen indicar con letras mayúsculas en negrita, por ejemplo${\textstyle {\mathbf {A}}}$.
• Los vectores columna se suelen denotar con letras minúsculas en negrita, por ejemplo:${\textstyle {\mathbf {x}}}$.
• El operador de transposición se denota mediante un superíndice T (por ejemplo,${\textstyle {\mathbf {A}}^{\mathrm {T} }}$) o un símbolo primo (por ejemplo${\textstyle {\mathbf {A}}'}$).
• Un vector fila se escribe como la transpuesta de un vector columna, por ejemplo${\textstyle {\mathbf {x}}^{\mathrm {T} }}$o${\textstyle {\mathbf {x}}'}$.

Las abreviaturas comunes incluyen:

• ae casi en todas partes
• como casi seguro
• función de distribución acumulativa (cdf)
• función de masa acumulativa (CMF)
• grados de libertad ( df también${\displaystyle \nu }$)
• iid independientes e idénticamente distribuidos
• función de densidad de probabilidad (pdf)
• función de masa de probabilidad pmf
• variable aleatoria rv
• wp con probabilidad; wp1 con probabilidad 1
• io infinitamente a menudo, es decir${\displaystyle \{A_{n}{\text{ i.o.}}\}=\bigcap _{N}\bigcup _{n\geq N}A_{n}}$
• ult. en última instancia, es decir${\displaystyle \{A_{n}{\text{ ult.}}\}=\bigcup _{N}\bigcap _{n\geq N}A_{n}}$

• Glosario de probabilidad y estadística
• Combinaciones y permutaciones
• Historia de la notación matemática

• Primeros usos de los símbolos en probabilidad y estadística , mantenido por Jeff Miller.