Constante de normalización

En teoría de la probabilidad , se utiliza una constante de normalización o un factor de normalización para reducir cualquier función no negativa cuya integral sea finita a una función de densidad de probabilidad .

Por ejemplo, una función gaussiana se puede normalizar para obtener una función de densidad de probabilidad, que corresponde a la distribución normal estándar. En el teorema de Bayes, se utiliza una constante de normalización para asegurar que la suma de todas las hipótesis posibles sea igual a 1. Otros usos de las constantes de normalización incluyen establecer el valor de un polinomio de Legendre en 1 y la ortogonalidad de funciones ortonormales.

Se ha utilizado un concepto similar en áreas distintas a la probabilidad, como por ejemplo en el caso de los polinomios.

En teoría de la probabilidad , una constante de normalización es una constante por la cual se debe multiplicar una función no negativa en todas partes para que el área bajo su gráfica sea 1, por ejemplo, para convertirla en una función de densidad de probabilidad o una función de masa de probabilidad . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Si partimos de la función gaussiana simple$${\displaystyle p(x)=e^{-x^{2}/2},\quad x\in (-\infty ,\infty )}$$ Tenemos la integral gaussiana correspondiente.$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,dx={\sqrt {2\pi \,}},}$$

Ahora bien, si utilizamos el valor recíproco de este último como una constante de normalización para el primero, definiendo una función${\displaystyle \varphi (x)}$como $${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}}$$ de modo que su integral sea unidad $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}\,dx=1}$$ entonces la función${\displaystyle \varphi (x)}$es una función de densidad de probabilidad. ^{[ 3 ]} Esta es la densidad de la distribución normal estándar . ( Estándar , en este caso, significa que el valor esperado es 0 y la varianza es 1).

Y constante${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$es la constante de normalización de la función${\displaystyle p(x)}$.

Similarmente, $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}=e^{\lambda },}$$ y, en consecuencia, $${\displaystyle f(n)={\frac {\lambda ^{n}e^{-\lambda }}{n!}}}$$ es una función de masa de probabilidad en el conjunto de todos los enteros no negativos. ^{[ 4 ]} Esta es la función de masa de probabilidad de la distribución de Poisson con valor esperado λ.

Cabe señalar que si la función de densidad de probabilidad depende de varios parámetros, también lo hará su constante de normalización. La constante de normalización parametrizada para la distribución de Boltzmann desempeña un papel fundamental en la mecánica estadística . En ese contexto, la constante de normalización se denomina función de partición .

El teorema de Bayes establece que la medida de probabilidad posterior es proporcional al producto de la medida de probabilidad previa y la función de verosimilitud . Ser proporcional a implica que se debe multiplicar o dividir por una constante de normalización para asignar la medida 1 a todo el espacio, es decir, para obtener una medida de probabilidad. En un caso discreto simple tenemos $${\displaystyle P(H_{0}\mid D)={\frac {P(D\mid H_{0})P(H_{0})}{P(D)}}}$$ donde P(H ₀ ) es la probabilidad a priori de que la hipótesis sea verdadera; P(D\mid H ₀ ) es la probabilidad condicional de los datos dado que la hipótesis es verdadera, pero dado que los datos son conocidos, es la probabilidad de la hipótesis (o sus parámetros) dados los datos; P(H ₀  |  D) es la probabilidad a posteriori de que la hipótesis sea verdadera dados los datos. P(D) debería ser la probabilidad de producir los datos, pero por sí sola es difícil de calcular, por lo que una forma alternativa de describir esta relación es como una de proporcionalidad: $${\displaystyle P(H_{0}\mid D)\propto P(D\mid H_{0})P(H_{0}){\text{ como función de }}H_{0}.}$$ Desde${\textstyle P(H\mid D)}$es una probabilidad, la suma sobre todas las hipótesis posibles (mutuamente excluyentes) debería ser 1, lo que lleva a la conclusión de que $${\displaystyle P(H_{0}\mid D)={\frac {P(D\mid H_{0})P(H_{0})}{\displaystyle \sum _{i}P(D\mid H_{i})P(H_{i})}}.}$$ En este caso, el recíproco del valor $${\displaystyle P(D)=\sum _{i}P(D\mid H_{i})P(H_{i})\;}$$ es la constante de normalización . ^{[ 5 ]} Se puede extender de un número numerable de hipótesis a un número no numerable reemplazando la suma por una integral.

Para mayor concreción, existen muchos métodos para estimar la constante de normalización con fines prácticos. Entre ellos se incluyen la técnica de muestreo puente, el estimador ingenuo de Monte Carlo, el estimador de media armónica generalizada y el muestreo por importancia. ^{[ 6 ]}

Los polinomios de Legendre se caracterizan por su ortogonalidad con respecto a la medida uniforme en el intervalo [−1, 1] y por estar normalizados de manera que su valor en 1 sea 1. La constante por la que se multiplica un polinomio para que su valor en 1 sea una constante de normalización.

Las funciones ortonormales se normalizan de tal manera que$${\displaystyle \langle f_{i},\,f_{j}\rangle =\,\delta _{i,j}}$$con respecto a algún producto interno ⟨ f , g ⟩ .

La constante 1/ √ 2 se utiliza para establecer las funciones hiperbólicas cosh y sinh a partir de las longitudes de los lados adyacentes y opuestos de un triángulo hiperbólico .

• Normalización (estadística)