Convergencia normal

En matemáticas, la convergencia normal es un tipo de convergencia para series de funciones . Al igual que la convergencia absoluta , tiene la útil propiedad de que se conserva cuando se cambia el orden de la suma.

El concepto de convergencia normal fue introducido por primera vez por René Baire en 1908 en su libro Leçons sur les théories générales de l'analyse .

Dado un conjunto S y funciones${\displaystyle f_{n}:S\to \mathbb {C} }$(o a cualquier espacio vectorial normado ), la serie

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$

Se dice que es normalmente convergente si la serie de normas uniformes de los términos de la serie converge, ^{[ 1 ]} es decir,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}\|:=\sum _{n=0}^{\infty }\sup _{x\in S}|f_{n}(x)|<\infty .}$

La convergencia normal implica una convergencia absoluta uniforme , es decir, una convergencia uniforme de la serie de funciones no negativas.${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|}$; este hecho es esencialmente la prueba M de Weierstrass . Sin embargo, no deben confundirse; para ilustrar esto, consideremos

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1/n,&x=n,\\0,&x\neq n.\end{cases}}}$

Luego la serie${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|}$es uniformemente convergente (para cualquier ε, tome n ≥ 1/ ε ), pero la serie de normas uniformes es la serie armónica y, por lo tanto, diverge. Un ejemplo que utiliza funciones continuas se puede hacer reemplazando estas funciones con funciones de elevación de altura 1/ n y ancho 1 centradas en cada número natural n . 

Asimismo, la convergencia normal de una serie es diferente de la convergencia norma-topológica , es decir, la convergencia de la sucesión de sumas parciales en la topología inducida por la norma uniforme. La convergencia normal implica la convergencia norma-topológica si y solo si el espacio de funciones considerado es completo con respecto a la norma uniforme. (Lo contrario no se cumple ni siquiera para espacios de funciones completos: por ejemplo, considérese la serie armónica como una sucesión de funciones constantes).

• Toda serie convergente normal es uniformemente convergente, localmente uniformemente convergente y compactamente uniformemente convergente. Esto es muy importante, ya que garantiza que cualquier reordenamiento de la serie, sus derivadas o integrales, así como las sumas y productos con otras series convergentes, convergerán al valor "correcto".
• Si${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$normalmente converge a${\displaystyle f}$, entonces cualquier reordenamiento de la secuencia ( ƒ ₁ , ƒ ₂ , ƒ ₃ ...) también converge normalmente al mismo ƒ . Es decir, para cada biyección${\displaystyle \tau$ :\mathbb {N} \to \mathbb {N} } ,${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{\tau (n)}(x)}$normalmente converge a${\displaystyle f}$.

• Modos de convergencia (índice anotado)