Convergencia normal

En matemáticas, la convergencia normal es un tipo de convergencia para series de funciones . Al igual que la convergencia absoluta , tiene la propiedad útil de que se conserva cuando se cambia el orden de la suma.

El concepto de convergencia normal fue introducido por primera vez por René Baire en 1908 en su libro Leçons sur les théories générales de l'analyse .

Dado un conjunto S y funciones (o cualquier espacio vectorial normado ), la serie ${\displaystyle f_{n}:S\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}f_{n}(x)}$

se llama normalmente convergente si la serie de normas uniformes de los términos de la serie converge, ^[1] es decir,

${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\|f_{n}\|:=\sum_{n=0}^{\infty}\sup_{x\in S}|f_{n}(x)|<\infty .}$

La convergencia normal implica convergencia absoluta uniforme , es decir, convergencia uniforme de la serie de funciones no negativas ; este hecho es esencialmente la prueba M de Weierstrass . Sin embargo, no deben confundirse; para ilustrar esto, considere ${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}|f_{n}(x)|}$

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1/n,&x=n,\\0,&x\neq n.\end{cases}}}$

Entonces la serie es uniformemente convergente (para cualquier ε tomemos n ≥ 1/ ε ), pero la serie de normas uniformes es la serie armónica y por lo tanto diverge. Se puede hacer un ejemplo utilizando funciones continuas reemplazando estas funciones con funciones de protuberancia de altura 1/ n y ancho 1 centradas en cada número natural  n . ${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}|f_{n}(x)|}$

Además, la convergencia normal de una serie es diferente de la convergencia norma-topología , es decir, la convergencia de la secuencia de suma parcial en la topología inducida por la norma uniforme. La convergencia normal implica convergencia norma-topología si y solo si el espacio de funciones en consideración es completo con respecto a la norma uniforme. (Lo inverso no se cumple ni siquiera para espacios de funciones completos: por ejemplo, considere la serie armónica como una secuencia de funciones constantes).

Una serie puede denominarse "localmente normalmente convergente en X " si cada punto x en X tiene un entorno U tal que la serie de funciones ƒ _n está restringida al dominio U

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\mid _{U}}$

es normalmente convergente, es decir tal que

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}\|_{U}<\infty }$

donde la norma es la supremacía sobre el dominio  U . ${\displaystyle \|\cdot \|_{U}}$

Se dice que una serie es "normalmente convergente en subconjuntos compactos de X " o "compactamente normalmente convergente en X " si para cada subconjunto compacto K de X , la serie de funciones ƒ _n restringida a K

${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}f_{n}\mid_{K}}$

normalmente converge en  K .

Nota : si X es localmente compacto (incluso en el sentido más débil), la convergencia normal local y la convergencia normal compacta son equivalentes.

• Toda serie convergente normal es uniformemente convergente, localmente uniformemente convergente y compactamente uniformemente convergente. Esto es muy importante, ya que garantiza que cualquier reordenamiento de la serie, cualquier derivada o integral de la serie y las sumas y productos con otras series convergentes convergerán al valor "correcto".
• Si normalmente converge a , entonces cualquier reordenamiento de la sucesión ( ƒ ₁ , ƒ ₂ , ƒ ₃ ...) también converge normalmente al mismo ƒ . Es decir, para cada biyección , normalmente converge a .${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}f_{n}(x)}$${\estilo de visualización f}$ ${\displaystyle \tau :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}f_{\tau(n)}(x)}$${\estilo de visualización f}$

• Modos de convergencia (índice anotado)