lema de normalización de Noether

En matemáticas , el lema de normalización de Noether es un resultado del álgebra conmutativa , introducido por Emmy Noether en 1926. ^{[ 1 ]} Afirma que para cualquier cuerpo y cualquier k -álgebra conmutativa finitamente generada , existen elementos en que son algebraicamente independientes sobre y tales que es un módulo finitamente generado sobre el anillo de polinomios . El entero es igual a la dimensión de Krull del anillo ; y si es un dominio de integridad , también es el grado de trascendencia del cuerpo de fracciones de sobre k. ${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots,y_{d}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S=k[y_{1},y_{2},\ldots ,y_{d}]}$${\displaystyle d}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d}$${\displaystyle A}$

El teorema tiene una interpretación geométrica. Supongamos que A es el anillo de coordenadas de una variedad afín X y que S es el anillo de coordenadas de un espacio afín de dimensión d . Entonces, la aplicación de inclusión induce un morfismo finito sobreyectivo de variedades afines ; es decir, cualquier variedad afín es un recubrimiento ramificado de un espacio afín. Cuando k es infinito, dicho recubrimiento ramificado puede construirse mediante una proyección general desde un espacio afín que contiene a X a un subespacio de dimensión d . ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d}}$${\displaystyle S\hookrightarrow A}$${\displaystyle X\to \mathbb {A} _{k}^{d}}$

De forma más general, en el lenguaje de los esquemas , el teorema puede enunciarse equivalentemente como: todo k -esquema afín (de tipo finito ) X es finito sobre un espacio afín n- dimensional. El teorema puede refinarse para incluir una cadena de ideales de R (o, equivalentemente, subconjuntos cerrados de X ) que son finitos sobre los subespacios de coordenadas afines de las dimensiones correspondientes. ^{[ 2 ]}

El lema de normalización de Noether puede utilizarse como un paso importante para demostrar el Nullstellensatz de Hilbert , uno de los resultados más fundamentales de la geometría algebraica clásica . El teorema de normalización también es una herramienta importante para establecer las nociones de dimensión de Krull para k -álgebras.

Teorema. ( Lema de normalización de Noether ) Sea k un cuerpo y A un álgebra k finitamente generada . Entonces, para algún entero d , , existen algebraicamente independientes sobre k tales que A es finito (es decir, finitamente generado como módulo) sobre (el entero d es entonces igual a la dimensión de Krull de A ). Si A es un dominio de integridad, entonces d es también el grado de trascendencia del cuerpo de fracciones de A sobre k . ${\displaystyle A=k[y_{1}',...,y_{m}']}$${\displaystyle 0\leq d\leq m}$${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{d}\in A}$${\displaystyle k[y_{1},\ldots ,y_{d}]}$

La siguiente demostración se debe a Nagata y aparece en el Libro Rojo de Mumford . Una segunda demostración, de carácter más geométrico, se presenta en la página 176 del mismo texto.

Demostración: Induciremos sobre m . El caso es y no hay nada que demostrar. Supongamos . Entonces, como k -álgebras, donde es algún ideal. Dado que es un PID (es un dominio euclidiano ), . Si hemos terminado, supongamos . Sea e el grado de f . Entonces A está generado, como un espacio vectorial k , por . Por lo tanto, A es finito sobre k . Supongamos ahora . Si los son algebraicamente independientes, entonces al establecer , hemos terminado. Si no, basta con demostrar la afirmación de que existe una k -subálgebra S de A que está generada por elementos, tales que A es finito sobre S. En efecto, por la hipótesis inductiva, podemos encontrar, para algún entero d , , elementos algebraicamente independientes de S tales que S es finito sobre . Dado que A es finito sobre S , y S es finito sobre , obtenemos la conclusión deseada de que A es finito sobre . ${\displaystyle m=0}$${\displaystyle k=A}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle A\cong k[y]/I}$${\displaystyle I\subset k[y]}$${\displaystyle k[y]}$${\displaystyle I=(f)}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle f\neq 0}$${\displaystyle 1,y,y^{2},\dots ,y^{e-1}}$${\displaystyle m\geq 2}$${\displaystyle y_{i}'}$${\displaystyle y_{i}=y_{i}'}$${\displaystyle m-1}$${\displaystyle 0\leq d\leq m-1}$${\displaystyle y_{1},...,y_{d}}$${\displaystyle k[y_{1},...,y_{d}]}$${\displaystyle k[y_{1},...,y_{d}]}$${\displaystyle k[y_{1},...,y_{d}]}$

Para probar la afirmación, asumimos por hipótesis que no son algebraicamente independientes, de modo que existe un polinomio no nulo f en m variables sobre k tal que ${\displaystyle y_{i}'}$

${\displaystyle f(y_{1}',\ldots ,y_{m}')=0}$.

Dado un número entero r que se determinará más adelante, establezca

${\displaystyle z_{i}=y_{i}'-(y_{1}')^{r^{i-1}},\quad 2\leq i\leq m,}$

y, para simplificar la notación, escribimos${\displaystyle {\tilde {y}}=y_{1}'.}$

A continuación se lee:

${\displaystyle f({\tilde {y}},z_{2}+{\tilde {y}}^{r},z_{3}+{\tilde {y}}^{r^{2}},\ldots ,z_{m}+{\tilde {y}}^{r^{m-1}})=0.\ \ \ (*)}$

Ahora bien, si es un monomio que aparece en el lado izquierdo de la ecuación anterior, con coeficiente , el término de mayor grado en después de expandir el producto se ve como ${\displaystyle a{\tilde {y}}^{\alpha _{1}}\prod _{2}^{m}(z_{i}+{\tilde {y}}^{r^{i-1}})^{\alpha _{i}}}$${\displaystyle a\in k}$${\displaystyle {\tilde {y}}}$

${\displaystyle a{\tilde {y}}^{\alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}}$.

Siempre que el exponente anterior coincida con el exponente más alto producido por algún otro monomio, es posible que el término más alto en no sea de la forma anterior, porque puede verse afectado por la cancelación. Sin embargo, si r es suficientemente grande (por ejemplo, podemos establecer ), entonces cada codifica un número base r único , por lo que esto no ocurre. Para tal r , sea el coeficiente del único monomio de f de grado múltiple para el cual la cantidad es máxima. La multiplicación de por da una ecuación de dependencia integral de sobre , es decir, es integral sobre S . Además, como , A es de hecho finito sobre S . Esto completa la demostración de la afirmación, por lo que hemos terminado con la primera parte. ${\displaystyle {\tilde {y}}}$${\displaystyle {\tilde {y}}}$${\displaystyle f({\tilde {y}},z_{2}+{\tilde {y}}^{r},z_{3}+{\tilde {y}}^{r^{2}},...,z_{m}+{\tilde {y}}^{r^{m-1}})}$${\displaystyle r=1+\deg f}$${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}$${\displaystyle c\in k}$${\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}$${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}$${\displaystyle (*)}$${\displaystyle 1/c}$${\displaystyle {\tilde {y}}}$${\displaystyle S=k[z_{2},...,z_{m}]}$${\displaystyle y_{1}'(={\tilde {y}})}$${\displaystyle A=S[y_{1}']}$

Además, si A es un dominio de integridad, entonces d es el grado de trascendencia de su cuerpo de fracciones. De hecho, A y el anillo de polinomios tienen el mismo grado de trascendencia (es decir, el grado del cuerpo de fracciones) ya que el cuerpo de fracciones de A es algebraico sobre el de S (como A es integral sobre S ) y S tiene grado de trascendencia d . Por lo tanto, queda demostrar que la dimensión de Krull de S es d . (Esto también es una consecuencia de la teoría de la dimensión ). Inducimos sobre d , siendo el caso trivial. Como es una cadena de ideales primos, la dimensión es al menos d . Para obtener la estimación inversa, sea una cadena de ideales primos. Sea . Aplicamos la normalización de Noether y obtenemos (en el proceso de normalización, somos libres de elegir la primera variable) tal que S es integral sobre T. Por la hipótesis inductiva, tiene dimensión . Por incomparabilidad , es una cadena de longitud y luego, en , se convierte en una cadena de longitud . Como , tenemos . Por lo tanto ,.${\displaystyle S=k[y_{1},...,y_{d}]}$${\displaystyle d=0}$${\displaystyle 0\subsetneq (y_{1})\subsetneq (y_{1},y_{2})\subsetneq \cdots \subsetneq (y_{1},\dots ,y_{d})}$${\displaystyle 0\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}}$${\displaystyle 0\neq u\in {\mathfrak {p}}_{1}}$${\displaystyle T=k[u,z_{2},\dots ,z_{d}]}$${\displaystyle T/(u)}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\cap T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)}$${\displaystyle m-1}$${\displaystyle \operatorname {dim} T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)\leq \operatorname {dim} T/(u)}$${\displaystyle m-1\leq d-1}$${\displaystyle \dim S\leq d}$${\displaystyle \square }$

El siguiente refinamiento aparece en el libro de Eisenbud, que se basa en la idea de Nagata: ^{[ 2 ]}

Geométricamente hablando, la última parte del teorema dice que para cualquier proyección lineal general se induce un morfismo finito (cf. la introducción); además de Eisenbud, véase también [1] . ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A\subset \mathbf {A} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{m}\to \mathbf {A} ^{d}}$${\displaystyle X\to \mathbf {A} ^{d}}$

Una aplicación no trivial típica del lema de normalización es el teorema genérico de libertad : Sean anillos tales que es un dominio integral noetheriano y supongamos que existe un homomorfismo de anillos que exhibe como un álgebra finitamente generada sobre . Entonces existe algún tal que es un -módulo libre . ${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 0\neq g\in A}$${\displaystyle B[g^{-1}]}$${\displaystyle A[g^{-1}]}$

Para demostrar esto, sea el cuerpo de fracciones de . Argumentamos por inducción sobre la dimensión de Krull de . El caso base es cuando la dimensión de Krull es ; es decir, ; o sea, cuando existe algún tal que , de modo que es libre como -módulo. Para el paso inductivo, observemos que es un -álgebra finitamente generada . Por lo tanto, por el lema de normalización de Noether, contiene elementos algebraicamente independientes tales que es finito sobre el anillo de polinomios . Multiplicando cada por elementos de , podemos suponer que están en . Ahora consideramos: ${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle F\otimes _{A}B=0}$${\displaystyle 0\neq g\in A}$${\displaystyle gB=0}$${\displaystyle B[g^{-1}]}$${\displaystyle A[g^{-1}]}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]\to B.}$

Ahora puede que no sea finito sobre , pero se volverá finito después de invertir un solo elemento de la siguiente manera. Si es un elemento de , entonces, como elemento de , es integral sobre ; es decir, para algún en . Por lo tanto, algún mata todos los denominadores de los coeficientes de y por lo tanto es integral sobre . Eligiendo algunos generadores finitos de como un -álgebra y aplicando esta observación a cada generador, encontramos algún tal que es integral (por lo tanto finito) sobre . Reemplazamos por y entonces podemos suponer que es finito sobre . Para terminar, consideremos una filtración finita por -submódulos tal que para ideales primos (tal filtración existe por la teoría de primos asociados ). Para cada i , si , por hipótesis inductiva, podemos elegir algún en tal que es libre como un -módulo, mientras que es un anillo de polinomios y por lo tanto libre. Por lo tanto, con , es un módulo libre sobre .${\displaystyle B}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$${\displaystyle b^{n}+a_{1}b^{n-1}+\dots +a_{n}=0}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$${\displaystyle 0\neq g\in A}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A'[g^{-1}]}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle 0\neq g\in A}$${\displaystyle B[g^{-1}]}$${\displaystyle A'[g^{-1}]}$${\displaystyle B,A}$${\displaystyle B[g^{-1}],A[g^{-1}]}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]}$${\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset B_{2}\supset \cdots \supset B_{r}}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle B_{i}/B_{i+1}\simeq A'/{\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\neq 0}$${\displaystyle g_{i}\neq 0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A'/{\mathfrak {p}}_{i}[g_{i}^{-1}]}$${\displaystyle A[g_{i}^{-1}]}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle g=g_{0}\cdots g_{r}}$${\displaystyle B[g^{-1}]}$${\displaystyle A[g^{-1}]}$${\displaystyle \square }$

• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa. Con vistas a la geometría algebraica , Graduate Texts in Mathematics , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-94268-8, MR  1322960 , Zbl  0819.13001
• Mumford, David (1988), El libro rojo de variedades y esquemas , Notas de clase en matemáticas , Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 978-3-662-21581-4
• "Teorema de Noether" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]. Nota: el lema se encuentra en los comentarios de actualización.
• Noether, Emmy (1926), "Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p " , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen : 28– 35, archivado desde el original el 8 de marzo de 2013

• Robertz, D.: Normalización de Noether guiada por descomposiciones de cono monomial. Journal of Symbolic Computation 44(10), 1359–1373 (2009)