Modelo de Nilsson

El modelo de Nilsson es un modelo de capas nucleares que trata el núcleo atómico como una esfera deformada. En 1953, se encontraron los primeros ejemplos experimentales de bandas rotacionales en núcleos, con sus niveles de energía siguiendo el mismo patrón de energías J(J+1) que en las moléculas rotantes. Desde el punto de vista de la mecánica cuántica, es imposible tener una rotación colectiva de una esfera, por lo que esto implicaba que la forma de estos núcleos no era esférica. En principio, estos estados rotacionales podrían haberse descrito como superposiciones coherentes de excitaciones de partículas-huecos en la base que consiste en estados de partículas individuales del potencial esférico. Pero en realidad, la descripción de estos estados de esta manera es intratable, debido a la gran cantidad de partículas de valencia, y esta intratabilidad era aún mayor en la década de 1950, cuando la potencia de cálculo era extremadamente rudimentaria. Por estas razones, Aage Bohr , Ben Mottelson y Sven Gösta Nilsson construyeron modelos en los que el potencial se deformaba en una forma elipsoidal. El primer modelo exitoso de este tipo es el que ahora se conoce como modelo de Nilsson. Es esencialmente un modelo de capas nucleares que utiliza un potencial de oscilador armónico, pero con anisotropía añadida, de modo que las frecuencias del oscilador a lo largo de los tres ejes cartesianos no son todas iguales. Normalmente, la forma es un elipsoide alargado, con el eje de simetría tomado como z.

Para una forma axialmente simétrica cuyo eje de simetría es el eje z, el hamiltoniano es

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}m\omega _{z}^{2}z^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{\perp }^{2}(x^{2}+y^{2})-c_{1}\ell \cdot s-c_{2}(\ell ^{2}-\langle \ell ^{2}\rangle _{N}).}$

Aquí m es la masa del nucleón, N es el número total de cuantos del oscilador armónico en la base esférica, es el operador del momento angular orbital, es su cuadrado (con valores propios ), es el valor promedio de sobre la capa N, y s es el espín intrínseco. ${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle \ell (\ell +1)}$${\displaystyle \langle \ell ^{2}\rangle _ {N}=(1/2)N(N+3)}$${\displaystyle \ell ^{2}}$

La anisotropía del potencial es tal que la longitud de un equipotencial a lo largo de z es mayor que la longitud en los ejes transversales en la relación . Esto se expresa convencionalmente en términos de un parámetro de deformación δ de modo que la parte del oscilador armónico del potencial se puede escribir como la suma de un oscilador armónico esféricamente simétrico y un término proporcional a δ. Los valores positivos de δ indican deformaciones alargadas, como un balón de fútbol americano. La mayoría de los núcleos en sus estados fundamentales tienen formas de equilibrio tales que δ varía de 0 a 0,2, mientras que los estados superdeformados tienen (una relación de ejes de 2 a 1). ${\displaystyle \omega _ {\perp }/\omega _ {z}}$${\displaystyle \delta \aproximadamente 0,5}$

Los detalles matemáticos de los parámetros de deformación son los siguientes. Considerando el éxito del modelo nuclear de gota líquida , en el que se considera que el núcleo es un fluido incompresible, las frecuencias del oscilador armónico se restringen de modo que permanezcan constantes con la deformación, preservando el volumen de las superficies equipotenciales. Para reproducir la densidad observada de la materia nuclear se requiere , donde A es el número másico. La relación entre δ y la anisotropía es , mientras que la relación entre δ y la relación de los ejes es . ${\displaystyle \omega _ {z}\ omega _ {\perp }^{2}=\omega _ {0}^{3}}$${\displaystyle \hbar \omega _{0}\aproximadamente (42\ {\text{MeV}})A^{-1/3}}$${\displaystyle (\omega _{\perp }/\omega _{z})^{2}=(1+{\frac {2}{3}}\delta )/(1-{\frac {4} {3}}\delta)}$${\displaystyle R=\omega _{\perp }/\omega _{z}}$${\displaystyle \delta =(3/2)(R^{2}-1)/(2R^{2}+1)}$

Los dos términos restantes en el hamiltoniano no se relacionan con la deformación y también están presentes en el modelo de capa esférica. El término espín-órbita representa la dependencia espín-órbita de la fuerza nuclear fuerte ; es mucho mayor que, y tiene el signo opuesto en comparación con, la división espín-órbita de la relatividad especial. El propósito del término es simular el perfil plano del potencial nuclear como una función del radio. Para las funciones de onda nucleares (a diferencia de las funciones de onda atómicas) los estados con alto momento angular tienen su densidad de probabilidad concentrada en radios mayores. El término evita que esto desplace una capa principal hacia arriba o hacia abajo en su totalidad. Las dos constantes ajustables se parametrizan convencionalmente como y . Los valores típicos de κ y μ para núcleos pesados ​​son 0,06 y 0,5. Con esta parametrización, ocurre como un factor de escala simple en todos los cálculos. ${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle -\langle \ell ^{2}\rangle _ {N}}$${\displaystyle c_{1}=2\kappa \hbar \omega _{0}}$${\displaystyle c_{2}=\mu \kappa \hbar \omega _ {0}}$${\displaystyle \hbar \omega _ {0}}$

Para facilitar el cálculo utilizando los recursos computacionales de la década de 1950, Nilsson utilizó una base que consiste en estados propios del hamiltoniano esférico. Los números cuánticos de Nilsson son . La diferencia entre el hamiltoniano esférico y el deformado es proporcional a , y este tiene elementos de matriz que son fáciles de calcular en esta base. Acoplan las diferentes capas N. Los estados propios del hamiltoniano deformado tienen buena paridad (correspondiente a N par o impar) y Ω, la proyección del momento angular total a lo largo del eje de simetría. En ausencia de un término de arranque (ver más abajo), la simetría de inversión temporal hace que los estados con signos opuestos de Ω sean degenerados, de modo que en los cálculos solo se deben considerar valores positivos de Ω. ${\displaystyle \{N,\ell ,m_{\ell },m_{s}\}}$${\displaystyle r^{2}Y_{20}\delta}$

En un núcleo impar y bien deformado, los niveles de partículas individuales se llenan hasta el nivel de Fermi, y el Ω y la paridad de las partículas impares dan el espín y la paridad del estado fundamental.

Como el potencial no es simétrico esféricamente, los estados de una sola partícula no son estados de buen momento angular J. Sin embargo, se puede añadir un multiplicador de Lagrange , conocido como término de "cranking", al hamiltoniano. Por lo general, se considera que el vector de frecuencia angular ω es perpendicular al eje de simetría, aunque también se puede considerar el cranking de eje inclinado. Al completar los estados de una sola partícula hasta el nivel de Fermi, se producen estados cuyo momento angular esperado a lo largo del eje de cranking tiene el valor deseado establecido por el multiplicador de Lagrange. ${\displaystyle -\omega\cdot J}$${\displaystyle \langle J_ {x}\rangle}$

A menudo se desea calcular una energía total en función de la deformación. Los mínimos de esta función son formas de equilibrio previstas. Sumar las energías de cada partícula no funciona para este propósito, en parte porque los términos cinéticos y potenciales están desproporcionados en un factor de dos, y en parte porque pequeños errores en las energías se acumulan en la suma. Por esta razón, dichas sumas se suelen renormalizar utilizando un procedimiento introducido por Strutinsky.

Los niveles de partículas individuales se pueden representar en un "diagrama de espagueti", como funciones de la deformación. Una gran brecha entre los niveles de energía con una deformación cero indica un número de partículas en el que hay un cierre de capa: los " números mágicos " tradicionales . Cualquier brecha de este tipo, con una deformación cero o distinta de cero, indica que cuando el nivel de Fermi está a esa altura, el núcleo será estable en relación con el modelo de gota de líquido.

• Una implementación de software de código abierto

• Nilsson, SG "Estados de enlace de nucleones individuales en núcleos fuertemente deformados", tesis doctoral, 1955
• Olivius, P., "Extending the nuclear cranking model to tilted axis rotation and alternative mean field potentials", tesis doctoral, Universidad de Lund, 2004, http://www.matfys.lth.se/staff/Peter.Olivius/thesis.pdf — describe una implementación moderna del modelo
• Strutinsky, Nucl. Phys. A122 (1968) 1 -- artículo original sobre el método de Strutinsky
• Salamon y Kruppa, "Corrección de curvatura en el método de Strutinsky", http://arxiv.org/abs/1004.0079 — una descripción de acceso abierto del método de Strutinsky
• Autor desconocido, "Apéndice Estructura Nuclear", con un conjunto completo de diagramas de Nilsson para capas de protones y neutrones, así como un diagrama equivalente para núcleos de osciladores armónicos simples en diferentes deformaciones: https://application.wiley-vch.de/books/info/0-471-35633-6/toi99/www/struct/struct.pdf ***