teoría de Atkin-Lehner

En matemáticas, la teoría de Atkin-Lehner forma parte de la teoría de las formas modulares que describe cuándo surgen en un nivel entero N dado, de tal manera que la teoría de los operadores de Hecke se puede extender a niveles superiores.

La teoría de Atkin-Lehner se basa en el concepto de una nueva forma , que es una forma de cúspide 'nueva' en un nivel N dado , donde los niveles son los subgrupos de congruencia anidados :

${\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}}$

del grupo modular , con N ordenado por divisibilidad . Es decir, si M divide a N , Γ ₀ ( N ) es un subgrupo de Γ ₀ ( M ). Las formas antiguas para Γ ₀ ( N ) son aquellas formas modulares f ( τ ) de nivel N de la forma g ( d τ ) para formas modulares g de nivel M con M un divisor propio de N , donde d divide a N/M . Las nuevas formas se definen como un subespacio vectorial de las formas modulares de nivel N , complementario al espacio generado por las formas antiguas, es decir el espacio ortogonal con respecto al producto interno de Petersson .

Los operadores de Hecke , que actúan sobre el espacio de todas las formas cúspide, preservan el subespacio de las nuevas formas y son operadores autoadjuntos y conmutativos (con respecto al producto interno de Petersson) cuando se restringen a este subespacio. Por lo tanto, el álgebra de operadores sobre las nuevas formas que generan es un álgebra C* de dimensión finita que es conmutativa; y por la teoría espectral de tales operadores, existe una base para el espacio de nuevas formas que consiste en autoformas para el álgebra de Hecke completa .

Consideremos un divisor de Hall e de N , lo que significa que no solo e divide a N , sino que también e y N / e son primos relativos (a menudo denotado e || N ). Si N tiene s divisores primos distintos, hay 2 ^s divisores de Hall de N ; por ejemplo, si N = 360 = 2 ³ ⋅3 ² ⋅5 ¹ , los 8 divisores de Hall de N son 1, 2 ³ , 3 ² , 5 ¹ , 2 ³ ⋅3 ² , 2 ³ ⋅5 ¹ , 3 ² ⋅5 ¹ y 2 ³ ⋅3 ² ⋅5 ¹ .

Para cada divisor de Hall e de N , elija una matriz integral W _e de la forma

${\displaystyle W_{e}={\begin{pmatrix}ae&b\\cN&de\end{pmatrix}}}$

con det W _e = e . Estas matrices tienen las siguientes propiedades:

• Los elementos W _e normalizan Γ ₀ ( N ): es decir, si A está en Γ ₀ ( N ), entonces W _e AW ⁻¹ _e está en Γ ₀ ( N ).
• La matriz W ² _e , cuyo determinante es e ² , puede escribirse como eA donde A está en Γ ₀ ( N ). Nos interesarán los operadores sobre formas cúspides que surgen de la acción de W _e sobre Γ ₀ ( N ) por conjugación, bajo la cual tanto el escalar e como la matriz A actúan trivialmente. Por lo tanto, la igualdad W ² _e = eA implica que la acción de W _e al cuadrado es igual a la identidad; por esta razón, el operador resultante se llama involución de Atkin-Lehner .
• Si e y f son ambos divisores de Hall de N , entonces W _e y W _f conmutan módulo Γ ₀ ( N ). Además, si definimos g como el divisor de Hall g = ef /( e , f ) ² , su producto es igual a W _g módulo Γ ₀ ( N ).
• Si hubiéramos elegido una matriz diferente W ′ _e en lugar de W _e , resulta que W _e ≡ W ′ _e módulo Γ ₀ ( N ), por lo que W _e y W ′ _e determinarían la misma involución de Atkin-Lehner.

Podemos resumir estas propiedades de la siguiente manera. Consideremos el subgrupo de GL(2, Q ) generado por Γ ₀ ( N ) junto con las matrices W _e ; sea Γ ₀ ( N ) ⁺ su cociente por matrices escalares positivas. Entonces Γ ₀ ( N ) es un subgrupo normal de Γ ₀ ( N ) ⁺ de índice 2 ^s (donde s es el número de factores primos distintos de N ); el grupo cociente es isomorfo a ( Z /2 Z ) ^s y actúa sobre las formas de cúspide a través de las involuciones de Atkin-Lehner.

• Mocanu, Andreea. (2019). " Teoría de Atkin-Lehner de las formas modulares Γ ₁ (m) "
• Atkin, AOL ; Lehner, J. (1970), "Operadores de Hecke en Γ ₀ (m)", Mathematische Annalen , 185 (2): 134– 160, doi : 10.1007/BF01359701 , ISSN 0025-5831 , MR 0268123  
• Koichiro Harada (2010) "Moonshine" of Finite Groups , página 13, European Mathematical Society ISBN 978-3-03719-090-6MR 2722318