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Cálculo de redes

El cálculo de redes es "un conjunto de resultados matemáticos que brindan información sobre sistemas creados por el hombre, como programas concurrentes , circuitos digitales y r...

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El cálculo de redes es "un conjunto de resultados matemáticos que brindan información sobre sistemas creados por el hombre, como programas concurrentes , circuitos digitales y redes de comunicación ". [ 1 ] El cálculo de redes proporciona un marco teórico para analizar las garantías de rendimiento en redes informáticas . A medida que el tráfico fluye a través de una red, está sujeto a restricciones impuestas por los componentes del sistema, por ejemplo:

Estas restricciones pueden expresarse y analizarse mediante métodos de cálculo de redes. Las curvas de restricción pueden combinarse mediante convolución en el álgebra min-plus . El cálculo de redes también puede utilizarse para expresar funciones de llegada y salida de tráfico, así como curvas de servicio.

El cálculo utiliza "álgebras alternativas... para transformar sistemas de redes no lineales complejos en sistemas lineales analíticamente tratables". [ 2 ]

Actualmente, existen dos ramas en el cálculo de redes: una que maneja límites deterministas y otra que maneja límites estocásticos. [ 3 ]

Modelado de sistemas

Modelado del flujo y del servidor

En cálculo de redes, un flujo se modela como funciones acumulativas A , donde A(t) representa la cantidad de datos (por ejemplo, el número de bits) enviados por el flujo en el intervalo [0,t) . Dichas funciones son no negativas y no decrecientes. El dominio del tiempo suele ser el conjunto de los números reales no negativos.

Curva de llegada y salida al ingresar y salir de un servidor.

A:R+→R+{\displaystyle A:\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}

∀tú,t∈R+:tú<t⟹A(tú)≤A(t){\displaystyle \forall u,t\in \mathbb {R} ^{+}:u<t\implies A(u)\leq A(t)}

Un servidor puede ser un enlace, un planificador, un modelador de tráfico o una red completa. Se modela simplemente como una relación entre una curva acumulativa de llegada A y una curva acumulativa de salida D. Se requiere que A ≥ D para modelar el hecho de que la salida de ciertos datos no puede ocurrir antes de su llegada.

Modelado de la cartera de proyectos y los retrasos

Dadas las curvas de llegada y salida A y D , respectivamente, la acumulación de trabajo en cualquier instante t , denotada por b(A,D,t) , se define como la diferencia entre A y D. El retraso en t , d(A,D,t) , se define como el tiempo mínimo necesario para que la función de salida alcance la función de llegada. Al considerar el flujo total, se utiliza el supremo de estos valores.

Desviación horizontal y vertical entre las curvas acumulativas de llegada y salida.

b(A,D,t):=A(t)−D(t){\displaystyle b(A,D,t):=A(t)-D(t)}

d(A,D,t):=inf{d∈R+ s.t. D(t+d)≥A(t)}{\displaystyle d(A,D,t):=\inf \left\{d\in \mathbb {R} ^{+}~st~D(t+d)\geq A(t)\right\}}

b(A,D):=sorbert≥0{A(t)−D(t)}{\displaystyle b(A,D):=\sup _{t\geq 0}\left\{A(t)-D(t)\right\}}

d(A,D):=sorbert≥0{inf{d∈R+ s.t. D(t+d)≥A(t)}}{\displaystyle d(A,D):=\sup _{t\geq 0}\left\{\inf \left\{d\in \mathbb {R} ^{+}~st~D(t+d)\geq A(t)\right\}\right\}}

En general, los flujos no se conocen con exactitud, y solo se conocen algunas restricciones sobre los flujos y los servidores (como el número máximo de paquetes enviados en un período determinado, el tamaño máximo de los paquetes y el ancho de banda mínimo del enlace). El objetivo del cálculo de redes es calcular límites superiores para el retardo y la acumulación de tráfico, basándose en estas restricciones. Para ello, el cálculo de redes utiliza el álgebra min-plus.

Semianillo Min-plus

El cálculo de redes hace un uso intensivo del semianillo min-plus (a veces llamado álgebra min-plus).

En la teoría de filtros y la teoría de sistemas lineales, la convolución de dos funciones y se define comoF{\displaystyle f}gramo{\displaystyle g}

(F∗gramo)(t):=∫0tF(τ)⋅gramo(t−τ)dτ{\displaystyle (f\ast g)(t):=\int _{0}^{t}f(\tau )\cdot g(t-\tau )d\tau }

En el semianillo min-plus, la suma se reemplaza por el operador mínimo o ínfimo , y el producto se reemplaza por la suma . Por lo tanto, la convolución min-plus de dos funciones y se convierte enF{\displaystyle f}gramo{\displaystyle g}

(F⊗gramo)(t):=inf0≤τ≤t{F(τ)+gramo(t−τ)}{\displaystyle (f\otimes g)(t):=\inf _{0\leq \tau \leq t}\left\{f(\tau )+g(t-\tau )\right\}}

Véase, por ejemplo, la definición de curvas de servicio. La convolución y la convolución min+ comparten muchas propiedades algebraicas. En particular, ambas son conmutativas y asociativas.

Una operación denominada deconvolución min-plus se define como

(F⊘gramo)(t):=sorberτ≥0{F(t+τ)−gramo(τ)}{\displaystyle (f\oslash g)(t):=\sup _{\tau \geq 0}\left\{f(t+\tau )-g(\tau )\right\}}

p. ej., tal como se utiliza en la definición de zonas de tráfico.

Las desviaciones verticales y horizontales pueden expresarse en términos de operadores min-plus.

b(F,gramo)=(F⊘gramo)(0){\displaystyle b(f,g)=(f\oslash g)(0)}

d(F,gramo)=inf{w:(F⊘gramo)(−w)≤0}{\displaystyle d(f,g)=\inf\{w:(f\oslash g)(-w)\leq 0\}}

sobres de tráfico

Las curvas acumulativas representan comportamientos reales, desconocidos en la fase de diseño. Lo que sí se conoce es alguna restricción. El cálculo de redes utiliza el concepto de envolvente de tráfico, también conocida como curvas de llegada.

Se dice que una función acumulativa A se ajusta a una envolvente E (también llamada curva de llegada y denotada por α ), si para todo t se cumple que

mi(t)≥sorberτ≥0{A(t+τ)−A(τ)}=(A⊘A)(t).{\displaystyle E(t)\geq \sup _{\tau \geq 0}\{A(t+\tau )-A(\tau )\}=(A\oslash A)(t).}

Se pueden dar dos definiciones equivalentes.

Por lo tanto, E impone una restricción superior al flujo A. Dicha función E puede verse como una envoltura que especifica un límite superior en el número de bits de flujo vistos en cualquier intervalo de longitud d que comienza en un t arbitrario , cf. ec. ( 1 ).

Curvas de servicio

Para garantizar el rendimiento del tráfico, es necesario especificar un rendimiento mínimo del servidor (en función de las reservas de la red, la política de planificación, etc.). Las curvas de servicio permiten expresar la disponibilidad de recursos. Existen varios tipos de curvas de servicio, como las de restricción débil, las de nodo de capacidad variable, etc. Consulte [ 4 ] y [ 5 ] para obtener una descripción general.

Servicio mínimo

Sea A un flujo de llegada, que llega a la entrada de un servidor, y D el flujo que sale por la salida. Se dice que el sistema proporciona una curva de servicio mínima simple S al par (A,B) si para todo t se cumple que D(t)≥(A⊗S)(t).{\displaystyle D(t)\geq (A\otimes S)(t).}

Servicio mínimo estricto

Sea A un flujo de llegada, que llega a la entrada de un servidor, y D el flujo que sale por la salida. Un período de espera es un intervalo I tal que, en cualquier t ∈ I , A(t)>D(t) .

Se dice que el sistema proporciona una curva de servicio mínima estricta S al par (A,B) si y solo si, , de tal manera que , si es un período de retraso, entonces .∀s,t∈R+{\displaystyle \forall s,t\in \mathbb {R} ^{+}}s≤t{\displaystyle s\leq t}(s,t]{\displaystyle (s,t]}D(t)−D(s)≥S(t−s){\displaystyle D(t)-D(s)\geq S(ts)}

Si un servidor ofrece un servicio mínimo estricto de curva S , también ofrece un servicio mínimo simple de curva S.

Notaciones

Dependiendo de los autores y del propósito del artículo, se utilizan diferentes notaciones o incluso nombres para el mismo concepto.

Resultados básicos: Límites de rendimiento y propagación de la envolvente.

A partir de las curvas de tráfico y de servicio, se pueden calcular algunos límites para el retraso y la acumulación de vehículos, así como una envolvente para el flujo de salidas.

Sea A el flujo de llegada que llega a la entrada de un servidor, y D el flujo que sale por la salida. Si el flujo tiene una envolvente de tráfico E , y el servidor proporciona un servicio mínimo de curva S , entonces la acumulación de tráfico y el retraso pueden acotarse:

b(A,D)≤b(mi,S){\displaystyle b(A,D)\leq b(E,S)}

d(A,D)≤d(mi,S){\displaystyle d(A,D)\leq d(E,S)}

Además, la curva de salida tiene envolvente .mi′=mi⊘S{\displaystyle E'=E\oslash S}

Además, estos límites son estrictos , es decir, dados algunos E y S , se puede construir una llegada y una salida tales que b(A,D) = b(E,S) y v(A,D) = v(E,S) .

Concatenación / PBOO

Consideremos una secuencia de dos servidores, donde la salida del primero es la entrada del segundo. Esta secuencia puede verse como un nuevo servidor, construido mediante la concatenación de los otros dos.

Entonces, si el primer (respectivamente, el segundo) servidor ofrece un servicio mínimo simple (respectivamente, ), entonces, la concatenación de ambos ofrece un servicio mínimo simple .S1{\displaystyle S_{1}}S2{\displaystyle S_{2}}Smi2mi=S1⊗S2{\displaystyle S_{e2e}=S_{1}\otimes S_{2}}

Secuencia de dos servidores

La demostración realiza una aplicación iterativa de la definición de curvas de servicio y algunas propiedades de convolución, isotonicidad ( ) y asociatividad ( ).incógnita≥A⊗S1{\displaystyle X\geq A\otimes S_ {1}}D≥incógnita⊗S2{\displaystyle D\geq X\otimes S_ {2}}D≥(incógnita⊗S2)⊗S1{\displaystyle D\geq (X\otimes S_ {2})\otimes S_ {1}}D≥incógnita⊗(S2⊗S1){\displaystyle D\geq X\otimes (S_ {2}\otimes S_ {1})}

El interés de este resultado radica en que el límite de retardo de extremo a extremo no es mayor que la suma de los retardos locales: .d(mi,S2⊗S1)≤d(mi,S1)+d(mi⊘S1,S2){\displaystyle d(E,S_{2}\otimes S_{1})\leq d(E,S_{1})+d(E\oslash S_{1},S_{2})}

Este resultado se conoce como Pago único por ráfaga (PBOO, por sus siglas en inglés).

Herramientas

Existen varias herramientas basadas en el cálculo de redes. Una comparación se puede encontrar en [ 6 ] .

Cálculo min-plus

Existen varias herramientas y bibliotecas dedicadas al álgebra min-plus.

Todas estas herramientas y bibliotecas se basan en los algoritmos presentados en [ 9 ] .

Herramientas de análisis de redes

  • DiscoDNC es una implementación académica en Java del marco de cálculo de redes . [ 10 ]
  • RTC Toolbox es una implementación académica en Java/ MATLAB del marco de cálculo en tiempo real, una teoría cuasi equivalente al cálculo de redes. [ 4 ] [ 11 ]
  • La herramienta CyNC [ 12 ] es una caja de herramientas académica de MATLAB /Symulink, basada en la caja de herramientas RTC . La herramienta se desarrolló entre 2004 y 2008 y actualmente se utiliza para la docencia en la Universidad de Aalborg .
  • RTaW -PEGASE es una herramienta industrial dedicada al análisis de tiempos de redes Ethernet conmutadas (AFDX, Ethernet industrial y automotriz), basada en cálculo de redes. [ 13 ]
  • DYRECTsn es una herramienta académica basada en Python para flujos dinámicos en redes sensibles al tiempo (TSN). Incluye optimización fuera de línea de la red, así como control de admisión en línea para flujos en tiempo real. [ 14 ]
  • WOPANets es una herramienta académica que combina análisis basados ​​en cálculo de redes y análisis de optimización . [ 15 ]
  • El DelayLyzer es una herramienta industrial diseñada para calcular límites para redes Profinet. [ 16 ]
  • DEBORAH es una herramienta académica dedicada a las redes FIFO. [ 17 ]
  • NetCalBounds es una herramienta académica dedicada a redes en tándem ciegas y FIFO. [ 18 ] [ 19 ]
  • NCBounds es una herramienta de cálculo de redes en Python, publicada bajo la licencia BSD de 3 cláusulas. Considera servidores de latencia-tasa y curvas de llegada de token-cubo. Admite cualquier topología, incluidas las cíclicas. [ 20 ]
  • El planificador de redes de Siemens ( SINETPLAN ) utiliza cálculo de redes (entre otros métodos) para ayudar en el diseño de una red PROFINET . [ 21 ]
  • El TFA modular experimental (xTFA) es un código Python que sirve de apoyo a la tesis doctoral de Ludovic Thomas [ 22 ].
  • Panco es un código Python que calcula límites de cálculo de redes mediante métodos de programación lineal .
  • Saihu es una interfaz de Python que integra tres herramientas de análisis de redes en el peor de los casos: xTFA, DiscoDNC y Panco .
  • CCAC es una herramienta basada en un solucionador SMT para verificar las propiedades de rendimiento de los algoritmos de control de congestión (CCA) utilizando un modelo similar al cálculo de redes.
  • AFDX Performance Analysis Tool es un conjunto de herramientas desarrolladas para el análisis y la optimización de la red AFDX con planificación FIFO, SPQ, DRR y WRR, escritas en C++ , en apoyo de la tesis doctoral de Aakash SONI [ 23 ].

Eventos

El taller WoNeCa es un taller sobre cálculo de redes . Se organiza cada dos años para reunir a investigadores interesados ​​en la teoría del cálculo de redes, así como a aquellos que desean aplicar los resultados existentes a nuevas aplicaciones. El taller también sirve para promover la teoría del cálculo de redes entre investigadores interesados ​​en modelos de colas aplicados.

  • WoNeCa7 se celebró en Trondheim, Noruega, como parte del 36º Congreso Internacional de Teletrafico (ITC 36).
  • WoNeCa6 , organizado por la EPFL , tendrá lugar los días 8 y 9 de septiembre de 2022 en Lausana, Suiza. Aquí encontrará la convocatoria para presentar propuestas .
  • El WoNeCa5 se celebró de forma virtual debido a la pandemia de COVID-19 el 9 de octubre de 2020.
  • WoNeCa4 se organizó conjuntamente con la 19ª Conferencia Internacional GI/ITG sobre Medición, Modelado y Evaluación de Sistemas Informáticos (MMB2018), que tuvo lugar el 28 de febrero de 2018 en Erlangen, Alemania.
  • WoNeCa3 se celebró como parte de la conferencia MMB & DFT 2016 el 6 de abril de 2016 en Müster, Alemania.
  • WoNeCa2 se celebró en el marco de la conferencia MMB & DFT 2014, el 19 de marzo de 2014, en Bamberg, Alemania.
  • WoNeCa1 fue organizado por la Universidad de Kaiserslautern y se celebró como parte de MMB2012 el 21 de marzo de 2012 en Kaiserslautern, Alemania.

En 2018, el Taller Internacional sobre Cálculo de Redes y Aplicaciones (NetCal 2018) se celebró en Viena, Austria, como parte del 30º Congreso Internacional de Teletrafico (ITC 30).

En 2024, el seminario de cálculo de redes de Dagstuhl (24141) se celebró del 1 al 4 de abril en Dagstuhl, Alemania.

Referencias

Libros, estudios y tutoriales sobre cálculo de redes.
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  • Y. Jiang y Y. Liu: Cálculo de redes estocásticas , Springer, 2008.
  • A. Kumar, D. Manjunath y J. Kuri: Redes de comunicación: un enfoque analítico , Elsevier, 2004.
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  • M. Fidler y A. Rizk: Una guía para el cálculo de redes estocásticas , IEEE Communications Surveys and Tutorials, 17(1):92-105, marzo de 2015.
  • L. Maile, K. Hielscher y R. German: Resultados del cálculo de redes para TSN: una introducción , Conferencia de Tecnologías de la Información y la Comunicación del IEEE (1): 131-140, mayo de 2020.
Libros relacionados sobre álgebra max-plus o sobre minimización convexa.
  • RT Rockafellar : Análisis convexo , Princeton University Press, 1972.
  • F. Baccelli, G. Cohen, G.J. Olsder y J.-P. Quadrat: Sincronización y linealidad: un álgebra para sistemas de eventos discretos , Wiley, 1992.
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Cálculo de redes deterministas
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Citas

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