Distribución hipergeométrica negativa

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución hipergeométrica negativa describe las probabilidades al muestrear sin reemplazo una población finita en la que cada muestra se puede clasificar en dos categorías mutuamente excluyentes, como Aprobado/Reprobado o Empleado/Desempleado. A medida que se realizan selecciones aleatorias de la población, cada extracción posterior disminuye la población, lo que provoca que la probabilidad de éxito cambie con cada extracción. A diferencia de la distribución hipergeométrica estándar , que describe el número de éxitos en un tamaño de muestra fijo, en la distribución hipergeométrica negativa, las muestras se extraen hasta${\displaystyle r}$Se han encontrado fallos y la distribución describe la probabilidad de encontrarlos.${\displaystyle k}$éxitos en dicha muestra. En otras palabras, la distribución hipergeométrica negativa describe la probabilidad de${\displaystyle k}$éxitos en una muestra con exactamente${\displaystyle r}$fracasos.

Hay${\displaystyle N}$elementos, de los cuales${\displaystyle K}$se definen como "éxitos" y el resto como "fracasos".

Los elementos se dibujan uno tras otro, sin reemplazos, hasta que${\displaystyle r}$Se producen fallos. Entonces, el dibujo se detiene y el número${\displaystyle k}$de éxitos se cuenta. La distribución hipergeométrica negativa,${\displaystyle NHG_{N,K,r}(k)}$es la distribución discreta de este${\displaystyle k}$.

^{[ 1 ]}

La distribución hipergeométrica negativa es un caso especial de la distribución beta-binomial ^{[ 2 ]} con parámetros${\displaystyle \alpha =r}$y${\displaystyle \beta =NK-r+1}$ambos son números enteros (y${\displaystyle n=K}$).

El resultado requiere que observemos${\displaystyle k}$éxitos en${\displaystyle (k+r-1)}$sorteos y el${\displaystyle (k+r){\text{-th}}}$El bit debe ser un fallo. La probabilidad de lo primero se puede encontrar mediante la aplicación directa de la distribución hipergeométrica.${\displaystyle (HG_{N,K,k+r-1}(k))}$y la probabilidad de este último es simplemente el número de fallos restantes (${\displaystyle =NK-(r-1)}$) dividido por el tamaño de la población restante (${\displaystyle =N-(k+r-1)}$). La probabilidad de tener exactamente${\displaystyle k}$éxitos hasta el${\displaystyle r{\text{-th}}}$fallo (es decir, el dibujo se detiene tan pronto como la muestra incluye el número predefinido de${\displaystyle r}$fallas) es entonces el producto de estas dos probabilidades:

${\displaystyle {\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {NK}{k+r-1-k}}}{\binom {N}{k+r-1}}}\cdot {\frac {NK-(r-1)}{N-(k+r-1)}}={\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{Nrk} \choose {Kk}}}{N \choose K}}.}$

Por lo tanto, una variable aleatoria${\displaystyle X}$sigue la distribución hipergeométrica negativa si su función de masa de probabilidad (pmf) está dada por

${\displaystyle f(k;N,K,r)\equiv \Pr(X=k)={\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{Nrk} \choose {Kk}}}{N \choose K}}\quad {\text{para }}k=0,1,2,\dotsc ,K}$

dónde

• ${\displaystyle N}$es el tamaño de la población,
• ${\displaystyle K}$es el número de estados de éxito en la población,
• ${\displaystyle r}$es el número de fallos,
• ${\displaystyle k}$es el número de éxitos observados,
• ${\displaystyle a \choose b}$es un coeficiente binomial

Por diseño, las probabilidades suman 1. Sin embargo, en caso de que queramos mostrarlo explícitamente, tenemos:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{K}\Pr(X=k)=\sum _{k=0}^{K}{\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{Nrk} \choose {Kk}}}{N \choose K}}={\frac {1}{N \choose K}}\sum _{k=0}^{K}{{k+r-1} \choose {k}}{{Nrk} \choose {Kk}}={\frac {1}{N \choose K}}{N \choose K}=1,}$

donde lo hemos usado,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=0}^{k}{\binom {j+m}{j}}{\binom {nmj}{kj}}&=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {-m-1}{j}}(-1)^{kj}{\binom {m+1+kn-2}{kj}}\\&=(-1)^{k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {-m-1}{j}}{\binom {kn-2-(-m-1)}{kj}}\\&=(-1)^{k}{\binom {kn-2}{k}}\\&=(-1)^{k}{\binom {k-(n+1)-1}{k}}\\&={\binom {n+1}{k}},\end{aligned}}}$

que se puede derivar utilizando la identidad binomial ,

${\displaystyle {{n \choose k}=(-1)^{k}{kn-1 \choose k}},}$

y la identidad Chu-Vandermonde ,

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {nm}{kj}}={\binom {n}{k}},}$

lo cual es válido para cualquier valor complejo.${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$y cualquier número entero no negativo${\displaystyle k}$.

Al contar el número${\displaystyle k}$de éxitos anteriores${\displaystyle r}$fracasos, el número esperado de éxitos es${\displaystyle {\frac {rK}{N-K+1}}}$y se puede derivar de la siguiente manera.

${\displaystyle {\begin{aligned}E[X]&=\sum _{k=0}^{K}k\Pr(X=k)=\sum _{k=0}^{K}k{\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{Nrk} \choose {Kk}}}{N \choose K}}={\frac {r}{N \choose K}}\left[\sum _{k=0}^{K}{\frac {(k+r)}{r}}{{k+r-1} \choose {r-1}}{{Nrk} \choose {Kk}}\right]-r\\&={\frac {r}{N \choose K}}\left[\sum _{k=0}^{K}{{k+r} \choose {r}}{{Nrk} \choose {Kk}}\right]-r={\frac {r}{N \choose K}}\left[\sum _{k=0}^{K}{{k+r} \choose {k}}{{Nrk} \choose {Kk}}\right]-r\\&={\frac {r}{N \choose K}}\left[{{N+1} \choose K}\right]-r={\frac {rK}{N-K+1}},\end{aligned}}}$

donde hemos utilizado la relación${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {j+m}{j}}{\binom {n-m-j}{k-j}}={\binom {n+1}{k}}}$, que derivamos anteriormente para demostrar que la distribución hipergeométrica negativa estaba correctamente normalizada.

La varianza se puede obtener mediante el siguiente cálculo.

${\displaystyle {\begin{aligned}E[X^{2}]&=\sum _{k=0}^{K}k^{2}\Pr(X=k)=\left[\sum _{k=0}^{K}(k+r)(k+r+1)\Pr(X=k)\right]-(2r+1)E[X]-r^{2}-r\\&={\frac {r(r+1)}{N \choose K}}\left[\sum _{k=0}^{K}{{k+r+1} \choose {r+1}}{{N+1-(r+1)-k} \choose {K-k}}\right]-(2r+1)E[X]-r^{2}-r\\&={\frac {r(r+1)}{N \choose K}}\left[{{N+2} \choose K}\right]-(2r+1)E[X]-r^{2}-r={\frac {rK(N-r+Kr+1)}{(N-K+1)(N-K+2)}}\end{aligned}}}$

Entonces la varianza es${\displaystyle {\textrm {Var}}[X]=E[X^{2}]-\left(E[X]\right)^{2}={\frac {rK(N+1)(N-K-r+1)}{(N-K+1)^{2}(N-K+2)}}}$

Si el dibujo se detiene después de un número constante${\displaystyle n}$de sorteos (independientemente del número de fallos), entonces el número de éxitos tiene la distribución hipergeométrica ,${\displaystyle HG_{N,K,n}(k)}$. Las dos funciones están relacionadas de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle NHG_{N,K,r}(k)=1-HG_{N,N-K,k+r}(r-1)}$

La distribución hipergeométrica negativa (al igual que la distribución hipergeométrica) se aplica a extracciones sin reemplazo , de modo que la probabilidad de éxito es diferente en cada extracción. En cambio, la distribución binomial negativa (al igual que la distribución binomial) se aplica a extracciones con reemplazo , de modo que la probabilidad de éxito es la misma y los ensayos son independientes. La siguiente tabla resume las cuatro distribuciones relacionadas con las extracciones de objetos:

Algunos autores ^{[ 3 ] [ 4 ]} definen la distribución hipergeométrica negativa como el número de extracciones necesarias para obtener la${\displaystyle r}$el fracaso. Si dejamos${\displaystyle Y}$Denotemos este número entonces queda claro que${\displaystyle Y=X+r}$dónde${\displaystyle X}$es como se definió anteriormente. Por lo tanto, la PMF es

${\displaystyle \Pr(Y=y)={\binom {y-1}{r-1}}{\frac {\binom {N-y}{N-K-r}}{\binom {N}{N-K}}}.}$

Si dejamos que el número de fallos${\displaystyle N-K}$ser denotado por${\displaystyle M}$significa que tenemos

${\displaystyle \Pr(Y=y)={\binom {y-1}{r-1}}{\frac {\binom {N-y}{M-r}}{\binom {N}{M}}}.}$

El apoyo de${\displaystyle Y}$es el conjunto${\displaystyle \{r,r+1,\dots ,N-M+r\}}$Está claro que:

${\displaystyle E[Y]=E[X]+r={\frac {r(N+1)}{M+1}}}$

y${\displaystyle {\textrm {Var}}[X]={\textrm {Var}}[Y]}$.