Función de navegación

La función de navegación suele hacer referencia a una función de posición, velocidad, aceleración y tiempo que se utiliza para planificar las trayectorias del robot a través del entorno. En general, el objetivo de una función de navegación es crear rutas viables y seguras que eviten obstáculos y permitan que el robot se desplace desde su configuración inicial hasta su configuración final.

Las funciones potenciales presuponen que se conoce el entorno o el espacio de trabajo. A los obstáculos se les asigna un valor potencial alto y a la posición objetivo se le asigna un valor potencial bajo. Para alcanzar la posición objetivo, un robot solo necesita seguir la pendiente negativa de la superficie.

Podemos formalizar este concepto matemáticamente de la siguiente manera: Sea el espacio de estados de todas las configuraciones posibles de un robot. Sea la región objetivo del espacio de estados. ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle X_{g}\subconjunto X}$

Entonces, una función potencial se denomina función de navegación (factible) si ^[1]${\displaystyle \phi(x)}$

1. ${\displaystyle \phi (x)=0\ \para todo x\en X_{g}}$
2. ${\displaystyle \phi(x)=\infty}$si y solo si ningún punto en es alcanzable desde .$Estilo de visualización {X_{g}}}$${\estilo de visualización x}$
3. Para cada estado alcanzable, , el operador local produce un estado para el cual .${\displaystyle x\en X\setminus {X_{g}}}$${\estilo de visualización x'}$${\displaystyle \phi (x')<\phi (x)}$

La función de navegación probabilística es una extensión de la función de navegación clásica para escenarios estocásticos estáticos. La función se define por la probabilidad de colisión permitida, que limita el riesgo durante el movimiento. La suma de Minkowski utilizada para en la definición clásica se reemplaza con una convolución de las geometrías y las funciones de densidad de probabilidad de las ubicaciones. Al denotar la posición del objetivo por , la función de navegación probabilística se define como: ^[2] donde es una constante predefinida como en la función de navegación clásica, que garantiza la naturaleza de Morse de la función. es la distancia a la posición del objetivo , y tiene en cuenta todos los obstáculos, definidos como donde se basa en la probabilidad de una colisión en la ubicación . La probabilidad de una colisión está limitada por un valor predeterminado , lo que significa: y, $Estilo de visualización x_{d}$ ${\displaystyle {\varphi}(x)={\frac {\gamma _{d}(x)}{{\left[{\gamma _{d}^{K}(x)+\beta \left(x\right)}\right]}^{\frac {1}{K}}}}}$${\estilo de visualización K}$$Estilo de visualización: gamma_d(x)$${\displaystyle {||x-{x_{d}}|{|^{2}}}}$${\displaystyle \beta \izquierda(x\derecha)}$${\displaystyle \beta \left(x\right)=\prod \limits _{i=0}^{N_{o}}{{\beta _{i}}\left(x\right)}}$${\displaystyle \beta _{i}(x)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización \Delta}$${\displaystyle \beta _{i}(x)=\Delta -p^{i}\left(x\right)}$${\displaystyle \beta _{0}(x)=-\Delta +p^{0}\left(x\right)}$

donde es la probabilidad de colisionar con el i-ésimo obstáculo. Se dice que un mapa es una función de navegación probabilística si satisface las siguientes condiciones: $estilo de visualización p^{i}(x)}$${\estilo de visualización \varphi}$

1. Es una función de navegación.
2. La probabilidad de una colisión está limitada por una probabilidad predefinida .${\estilo de visualización \Delta}$

Si bien para ciertas aplicaciones es suficiente tener una función de navegación factible, en muchos casos es deseable tener una función de navegación óptima con respecto a una función de costo dada . Formalizado como un problema de control óptimo , podemos escribir ${\estilo de visualización J}$

${\displaystyle {\text{minimizar}}J(x_{1:T},u_{1:T})=\int \limits _{T}L(x_{t},u_{t},t)dt}$

${\displaystyle {\text{sujeto a }}{\dot {x_{t}}}=f(x_{t},u_{t})}$

donde es el estado, es el control a aplicar, es un costo en un cierto estado si aplicamos un control , y modela la dinámica de transición del sistema. ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización f}$

Aplicando el principio de optimalidad de Bellman, la función de costo óptimo para continuar se define como

${\displaystyle \displaystyle \phi (x_{t})=\min _{u_{t}\in U(x_{t})}{\Big \{}L(x_{t},u_{t})+\phi (f(x_{t},u_{t})){\Big \}}}$

Junto con los axiomas definidos anteriormente podemos definir la función de navegación óptima como

1. ${\displaystyle \phi (x)=0\ \para todo x\en X_{g}}$
2. ${\displaystyle \phi(x)=\infty}$si y solo si ningún punto en es alcanzable desde .$Estilo de visualización {X_{G}}}$${\estilo de visualización x}$
3. Para cada estado alcanzable, , el operador local produce un estado para el cual .${\displaystyle x\en X\setminus {X_{G}}}$${\estilo de visualización x'}$${\displaystyle \phi (x')<\phi (x)}$
4. ${\displaystyle \displaystyle \phi (x_{t})=\min _{u_{t}\in U(x_{t})}{\Big \{}L(x_{t},u_{t})+\phi (f(x_{t},u_{t})){\Big \}}}$

Si bien una función de navegación es un ejemplo de control reactivo, también se puede utilizar para problemas de control óptimo, lo que incluye capacidades de planificación. ^[3]

Si asumimos que la dinámica de transición del sistema o la función de coste están sujetas a ruido, obtenemos un problema de control óptimo estocástico con un coste y una dinámica . En el campo del aprendizaje por refuerzo, el coste se sustituye por una función de recompensa y la dinámica por las probabilidades de transición . ${\displaystyle J(x_{t},u_{t})}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle R(x_{t},u_{t})}$${\displaystyle P(x_{t+1}|x_{t},u_{t})}$

• Teoría del control
• Control óptimo
• Control de robots
• Planificación del movimiento
• Aprendizaje por refuerzo

Fuentes

• LaValle, Steven M. (2006), Algoritmos de planificación (Primera edición), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86205-9
• Laumond, Jean-Paul (1998), Planificación y control del movimiento de robots (Primera edición), Springer, ISBN 3-540-76219-1

• NFsim: Caja de herramientas MATLAB para la planificación de movimiento mediante funciones de navegación.