Monus

En matemáticas, monus es un operador en ciertos monoides conmutativos que no son grupos . Un monoide conmutativo en el que se define un operador monus se llama monoide conmutativo con monus , o CMM . El operador monus puede denotarse con el signo menos , " $-$ ", porque los números naturales son una CMM bajo la resta . También se denota con un signo menos punteado, " $\mathbin {\dot {-}}$ ", para distinguirlo del operador de resta estándar.

Notación

Se observa un uso del símbolo monus en la tesis doctoral de Dennis Ritchie de 1968. ^{[ 2 ]}

Definición

Dejar $(M,+,0)$ Sea un monoide conmutativo . Defina una relación binaria . $\leq$ en este monoide de la siguiente manera: para cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ , definir $a\leq b$ si existe un elemento $c$ de tal manera que $a+c=b$ Es fácil comprobarlo $\leq$ es reflexivo ^{[ 3 ]} y que es transitivo . ^{[ 4 ]} $M$ se denomina ordenado naturalmente si el $\leq$ La relación es además antisimétrica y por lo tanto un orden parcial . Además, si para cada par de elementos $a$ y $b$ , un elemento más pequeño y único $c_{0}$ existe tal que $a\leq b+c_{0}$ , entonces $M$ se denomina monoide conmutativo con monus ^{[ 5 ]} y el monus $a\mathbin {\dot {-}} b$ de cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ puede definirse como este elemento más pequeño y único $c_{0}$ de tal manera que $a\leq b+c_{0}$ .

Un ejemplo de un monoide conmutativo que no está ordenado naturalmente es $(\mathbb {Z},+,0)$ , el monoide conmutativo de los enteros con la suma usual , como para cualquier $a,b\in \mathbb {Z}$ existe $c$ de tal manera que $a+c=b$ , entonces $a\leq b$ se mantiene para cualquier $a,b\in \mathbb {Z}$ , entonces $\leq$ no es antisimétrico y, por lo tanto, no es un orden parcial. También hay ejemplos de monoides que están ordenados naturalmente pero no son semianillos con monus. ^{[ 6 ]}

Otras estructuras

Más allá de los monoides, la noción de monus puede aplicarse a otras estructuras. Por ejemplo, un semianillo naturalmente ordenado (a veces llamado dioide ^{[ 7 ]} ) es un semianillo donde el monoide conmutativo inducido por el operador de adición está naturalmente ordenado. Cuando este monoide es un monoide conmutativo con monus, el semianillo se denomina semianillo con monus o m-semianillo .

Ejemplos

Si $M$ es un ideal en un álgebra booleana , entonces $M$ es un monoide conmutativo con monus bajo $a+b=a\vee b$ y $a\mathbin {\dot {-}} b=a\wedge \neg b$ . ^{[ 5 ]}

Números naturales

Los números naturales, incluido el 0, forman un monoide conmutativo con monus, cuyo orden es el orden habitual de los números naturales y el operador monus es una variante saturante de la resta estándar, denominada de diversas maneras como resta truncada , ^{[ 8 ]} resta limitada , resta propia , doz ( diferencia o cero ), ^{[ 9 ]} y monus . ^{[ 10 ]} La resta truncada se define habitualmente como ^{[ 8 ]}

a\mathbin {\dot {-}} b={\begin{cases}0&{\mbox{si }}a<b\\ab&{\mbox{si }}a\geq b,\end{cases}}

donde − denota la resta estándar . Por ejemplo, $5-3=2$ y $3-5=-2$ en la resta regular, mientras que en la resta truncada $3\mathbin {\dot {-}} 5=0$ . La resta truncada también puede definirse como ^{[ 10 ]}

a\mathbin {\dot {-}} b=\max(a-b,0).

En la aritmética de Peano , la resta truncada se define en términos de la función predecesora $P$ (la inversa de la función sucesora ): ^{[ 8 ]}

{\begin{aligned}P(0)&=0\\P(S(a))&=a\\a\mathbin {\dot {-}} 0&=a\\a\mathbin {\dot {-}} S(b)&=P(a\mathbin {\dot {-}} b).\end{aligned}}

Una definición que no necesita la función predecesora es:

{\begin{aligned}a\mathbin {\dot {-}} 0&=a\\0\mathbin {\dot {-}} b&=0\\S(a)\mathbin {\dot {-}} S(b)&=a\mathbin {\dot {-}} b.\end{aligned}}

La resta truncada es útil en contextos como las funciones recursivas primitivas , que no están definidas sobre números negativos. ^{[ 8 ]} La resta truncada también se utiliza en la definición del operador de diferencia de multiconjuntos .

Propiedades

La clase de todos los monoides conmutativos con monus forman una variedad . ^{[ 5 ]} La base ecuacional para la variedad de todos los CMM consiste en los axiomas para monoides conmutativos , así como en los siguientes axiomas:

${\begin{aligned}a+(b\mathbin {\dot {-}} a)&=b+(a\mathbin {\dot {-}} b),\\(a\mathbin {\dot {-}} b)\mathbin {\dot {-}} c&=a\mathbin {\dot {-}} (b+c),\\(a\mathbin {\dot {-}} a)&=0,\\(0\mathbin {\dot {-}} a)&=0.\\\end{aligned}}$

Notas

↑ En prosa, los caracteres Unicode se referencian mediante la notación "U+". Elnúmero hexadecimal que aparece después de "U+" es el punto de código Unicode del carácter.
↑ Brailsford, Kernighan y Ritchie 2022 .
↑ tomando $c$ ser el elemento neutro del monoide
↑ si $a\leq b$ con testigo $d$ y $b\leq c$ con testigo $d'$ entonces $d+d'$ testigos que $a\leq c$
1 2 3 Amer 1984 , pág. 129.
↑ Monet 2016 .
↑ Pouly 2010 , pág. 22, diapositiva 17.
1 2 3 4 Vereschchagin y Shen 2003 .
↑ Warren Jr. 2013 .
1 2 Jacobs 1996 .

Referencias

Amer, K. (1984), "Clases ecuacionalmente completas de monoides conmutativos con monus", Algebra Universalis , 18 : 129–131 , doi : 10.1007/BF01182254

Brailsford, David F.; Kernighan, Brian W .; Ritchie, William A. (2022), "¿Cómo elaboró Dennis Ritchie su tesis doctoral? Un misterio tipográfico" (PDF) , en Wigington, Curtis; Hardy, Matthew; Bagley, Steven R.; Simske, Steven J. (eds.), Actas del 22.º Simposio ACM sobre Ingeniería Documental, DocEng 2022, San José, California, EE. UU., 20-23 de septiembre de 2022 , Association for Computing Machinery, pp. 2:1–2:10, doi : 10.1145/3558100.3563839

Jacobs, Bart (1996), "Especificaciones coalgebraicas y modelos de sistemas híbridos deterministas" (PS) , en Wirsing, Martin; Nivat, Maurice (eds.), Metodología algebraica y tecnología de software , Lecture Notes in Computer Science, vol. 1101, Springer, p. 522, ISBN 3-540-61463-X

Monet, M. (14 de octubre de 2016), "Ejemplo de un semianillo ordenado naturalmente que no es un m-semianillo" , Mathematics Stack Exchange , consultado el 30 de julio de 2025.

Pouly, Marc (julio de 2010), "Semirings para el desayuno" (PDF) , Universidad de Luxemburgo , pág. 27 , consultado el 30 de julio de 2025.

Vereschchagin, Nikolai K.; Shen, Alexander (2003), Funciones computables , traducido por VN Dubrovskii, American Mathematical Society , pág. 141, ISBN 0-8218-2732-4

Warren Jr., Henry S. (2013), Hacker's Delight (2.ª ed.), Addison Wesley - Pearson Education, Inc. , ISBN 978-0-321-84268-8

[1] En prosa, los caracteres Unicode se referencian mediante la notación "U+". Elnúmero hexadecimal que aparece después de "U+" es el punto de código Unicode del carácter.

[FOOTNOTEBrailsfordKernighanRitchie2022-2] Brailsford, Kernighan y Ritchie 2022 .

[3] tomando $c$ ser el elemento neutro del monoide

[4] si $a\leq b$ con testigo $d$ y $b\leq c$ con testigo $d'$ entonces $d+d'$ testigos que $a\leq c$

[FOOTNOTEAmer1984129-5] 1 2 3 Amer 1984 , pág. 129.

[FOOTNOTEMonet2016-6] Monet 2016 .

[FOOTNOTEPouly201022slide_17-7] Pouly 2010 , pág. 22, diapositiva 17.

[FOOTNOTEVereschchaginShen2003-8] 1 2 3 4 Vereschchagin y Shen 2003 .

[FOOTNOTEWarren_Jr.2013-9] Warren Jr. 2013 .

[FOOTNOTEJacobs1996-10] 1 2 Jacobs 1996 .

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