Problema del servilletero

En geometría , el problema del servilletero consiste en hallar el volumen de una "banda" de una altura determinada alrededor de una esfera , es decir, la parte que queda después de perforar un agujero en forma de cilindro circular en el centro de la esfera. Es un hecho contraintuitivo que este volumen no depende del radio de la esfera original , sino solo de la altura de la banda resultante.

El problema se llama así porque después de retirar un cilindro de la esfera, la banda restante se asemeja a la forma de un servilletero .

Supongamos que el eje de un cilindro circular recto pasa por el centro de una esfera de radio y que esto representa la altura (definida como la distancia en una dirección paralela al eje) de la parte del cilindro que está dentro de la esfera. La "banda" es la parte de la esfera que está fuera del cilindro. El volumen de la banda depende de, pero no de : ${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización h}$${\estilo de visualización h}$${\estilo de visualización R}$$${\displaystyle V={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}$$

A medida que el radio de la esfera se reduce, el diámetro del cilindro también debe reducirse para que pueda permanecer igual. La banda se hace más gruesa, y esto aumentaría su volumen. Pero también se acorta en circunferencia, y esto disminuiría su volumen. Los dos efectos se cancelan exactamente entre sí. En el caso extremo de la esfera más pequeña posible, el cilindro se desvanece (su radio se convierte en cero) y la altura es igual al diámetro de la esfera. En este caso, el volumen de la banda es el volumen de toda la esfera , que coincide con la fórmula dada anteriormente. ${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización h}$${\estilo de visualización h}$

Un estudio temprano de este problema fue escrito por el matemático japonés del siglo XVII Seki Kōwa . Según Smith y Mikami (1914), Seki llamó a este sólido un anillo de arco, o en japonés kokan o kokwan . ^[1]

Supongamos que el radio de la esfera es y la longitud del cilindro (o del túnel) es . ${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización h}$

Por el teorema de Pitágoras , el radio del cilindro es

$${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}},\qquad \qquad (1)}$$ y el radio de la sección transversal horizontal de la esfera a una altura por encima del "ecuador" es ${\estilo de visualización y}$$${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-y^{2}}}.\qquad \qquad (2)}$$

La sección transversal de la banda con el plano en altura es la región dentro del círculo mayor de radio dado por (2) y fuera del círculo menor de radio dado por (1). El área de la sección transversal es, por lo tanto, el área del círculo mayor menos el área del círculo menor: ${\displaystyle y}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \pi ({\text{larger radius}})^{2}-\pi ({\text{smaller radius}})^{2}\\&=\pi \left({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right).\end{aligned}}}$$

El radio R no aparece en la última cantidad. Por lo tanto, el área de la sección transversal horizontal en altura no depende de , siempre que . El volumen de la banda es ${\displaystyle y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle y\leq {\tfrac {h}{2}}\leq R}$

${\displaystyle \int _{-h/2}^{h/2}({\text{area of cross-section at height }}y)\,dy,}$

y eso no depende de . ${\displaystyle R}$

Se trata de una aplicación del principio de Cavalieri : los volúmenes con secciones transversales correspondientes de igual tamaño son iguales. De hecho, el área de la sección transversal es la misma que la de la sección transversal correspondiente de una esfera de radio , que tiene volumen ${\displaystyle h/2}$$${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}$$

• Cálculo visual , una forma intuitiva de resolver este tipo de problemas, originalmente aplicado para encontrar el área de un anillo , dada solo la longitud de su cuerda.
• La Tierra rodeada por una cuerda , otro problema en el que el radio de una esfera o un círculo es contrariamente irrelevante

• Devlin, Keith (2008), The Napkin Ring Problem, Asociación Matemática de Estados Unidos , archivado desde el original el 30 de abril de 2008 , consultado el 25 de febrero de 2009
• Devlin, Keith (2008), Lockhart's Lament, Mathematical Association of America , archivado desde el original el 10 de mayo de 2008 , consultado el 25 de febrero de 2009
• Gardner, Martin (1994), "Agujero en la esfera", Mis mejores acertijos matemáticos y lógicos , Dover Publications , pág. 8
• Jones, Samuel I. (1912), Arrugas matemáticas para profesores y estudiantes privados , Norwood, MA: JB Cushing Co.El problema 132 pide el volumen de una esfera con un agujero cilíndrico perforado a través de ella, pero no señala la invariancia del problema ante cambios de radio.
• Levi, Mark (2009), "6.3 ¿Cuánto oro hay en un anillo de bodas?", The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems , Princeton University Press, págs.  102-104 , ISBN 978-0-691-14020-9Levi sostiene que el volumen depende únicamente de la altura del agujero basándose en el hecho de que el anillo puede ser barrido por un medio disco cuya altura es su diámetro.
• Líneas, L. (1965), Geometría sólida: con capítulos sobre redes espaciales, paquetes de esferas y cristales , Dover. Reimpresión de la edición de 1935. Un problema en la página 101 describe la forma formada por una esfera a la que se le quita un cilindro como "servilletero" y pide una prueba de que el volumen es el mismo que el de una esfera con un diámetro igual a la longitud del agujero.
• Pólya, George (1990), Matemáticas y razonamiento plausible , vol. I: Inducción y analogía en matemáticas , Princeton University Press, págs.  191– 192. Reimpresión de la edición de 1954.

• Weisstein, Eric W. , "Anillo esférico", MathWorld