Teorema de compactificación de Nagata

En geometría algebraica , el teorema de compactificación de Nagata , introducido por Nagata ( 1962 , 1963 ) , implica que toda variedad abstracta puede ser incrustada en una variedad completa , y de manera más general muestra que un morfismo de tipo separado y finito a un esquema noetheriano S puede ser factorizado en una inmersión abierta seguida de un morfismo propio . 

La demostración original de Nagata empleó la terminología antigua de los espacios de Zariski-Riemann y la teoría de la valoración , lo que a veces dificultaba su comprensión. Deligne demostró, en notas inéditas explicadas por Conrad , que la demostración de Nagata puede traducirse a la teoría de esquemas y que la condición de que S sea noetheriano puede reemplazarse por la condición mucho más débil de que S sea cuasicompacto y cuasiseparado. Lütkebohmert (1993) ofreció otra demostración del teorema de Nagata en términos de teoría de esquemas.

Una aplicación importante del teorema de Nagata es la definición del análogo en geometría algebraica de la cohomología con soporte compacto , o más generalmente functores de imagen directa de orden superior con soporte propio . La idea es que dado un morfismo compactificable${\displaystyle f:X\to S,}$uno define${\displaystyle Rf_{!}}$eligiendo una factorización${\displaystyle f=p\circ j}$mediante una inmersión abierta j y un morfismo propio p , y luego estableciendo

${\displaystyle Rf_{!}=Rp_{*}\circ j_{\sharp }}$,

dónde${\displaystyle j_{\sharp }}$es la extensión por functor cero. Luego se demuestra la independencia de la definición respecto de la elección de compactificación.

En el contexto de haces étales , esta idea fue desarrollada por Deligne en SGA 4 , Exposé XVII. En el contexto de haces coherentes , las afirmaciones son más delicadas ya que para una inmersión abierta j , el functor de imagen inversa${\displaystyle j^{*}}$No suele admitir un adjunto izquierdo. Sin embargo,${\displaystyle j_{\sharp }}$existe como un adjunto pro-izquierdo , y Deligne pudo definir el functor.${\displaystyle Rf_{!}}$como se valora en la categoría pro-derivada de haces coherentes. ^{[ 1 ]}

• Proyecto Stacks - Compactificación de Nagata - Consulte primero el Lema 38.33.8 y luego retroceda.
• Proyecto Stacks: reducción del chillido mediante compactaciones.
• Proyecto Stacks: cohomología compacta para módulos coherentes
• Conrad, B., Notas de Deligne sobre las compactificaciones de Nagata (PDF)
• Lütkebohmert, Werner (1993), "Sobre la compactificación de esquemas", Manuscripta Mathematica , 80 (1): 95–111 , doi : 10.1007/BF03026540 , ISSN 0025-2611 
• Nagata, Masayoshi (1962), "Incrustación de una variedad abstracta en una variedad completa" , Journal of Mathematics of Kyoto University , 2 (1): 1– 10, doi : 10.1215/kjm/1250524969 , ISSN 0023-608X , MR 0142549  
• Nagata, Masayoshi (1963), "Una generalización del problema de inmersión de una variedad abstracta en una variedad completa" , Journal of Mathematics of Kyoto University , 3 (1): 89– 102, doi : 10.1215/kjm/1250524859 , ISSN 0023-608X , MR 0158892