Secuencia multiplicativa

En matemáticas , una sucesión multiplicativa o m -sucesión es una sucesión de polinomios asociada a una estructura de grupo formal . Tienen aplicación en el anillo de cobordismo en topología algebraica .

Sea K _n un conjunto de polinomios sobre un anillo A en indeterminadas p ₁ , ... ponderadas de modo que p _i tenga peso i (con p ₀ = 1) y todos los términos de K _n tengan peso n (en particular, K _n es un polinomio en p ₁ ,  ..., p _n ). La sucesión K _n es multiplicativa si se cumple la condición. 

${\displaystyle K:\sum _{n=0}^{\infty }q_{n}z^{n}\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }K_{n}(q_{1},\cdots ,q_{n})z^{n}}$

es un endomorfismo del monoide multiplicativo${\displaystyle (A[x_{1},x_{2},\cdots ][[z]],\cdot )}$, dónde${\displaystyle q_{n}\in A[x_{1},x_{2},\cdots ]}$.

La serie de poder

${\displaystyle K(1+z)=\sum K_{n}(1,0,\ldots ,0)z^{n}}$

es la serie de potencias característica de K _n . Una secuencia multiplicativa está determinada por su serie de potencias característica Q ( z ), y toda serie de potencias con término constante 1 da lugar a una secuencia multiplicativa. 

Para recuperar una secuencia multiplicativa a partir de una serie de potencias característica Q ( z ) consideramos el coeficiente de z ^j en el producto

${\displaystyle \prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}z)\ }$

para cualquier m > j . Esto es simétrico en el β _i y homogéneo de peso j : por lo tanto, puede expresarse como un polinomio K _j ( p ₁ , ..., p _j ) en las funciones simétricas elementales p del β . Entonces K _j define una secuencia multiplicativa.      

Como ejemplo, la secuencia K _n = p _n es multiplicativa y tiene como serie de potencias característica 1 + z . 

Consideremos la serie de potencias

${\displaystyle Q(z)={\frac {\sqrt {z}}{\tanh {\sqrt {z}}}}=1-\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {2^{2k}}{(2k)!}}B_{k}z^{k}\ }$

donde B _k es el k -ésimo número de Bernoulli . La secuencia multiplicativa con Q como serie de potencias característica se denota L _j ( p ₁ ,  ..., p _j ). 

La sucesión multiplicativa con serie de potencias característica

${\displaystyle Q(z)={\frac {2{\sqrt {z}}}{\sinh 2{\sqrt {z}}}}\ }$

se denota A _j ( p ₁ ,..., p _j ).

La sucesión multiplicativa con serie de potencias característica

${\displaystyle Q(z)={\frac {z}{1-\exp(-z)}}=1+{\frac {x}{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {B_{k}}{(2k)!}}z^{2k}\ }$

se denota T _j ( p ₁ ,..., p _j ): estos son los polinomios de Todd .

El género de una secuencia multiplicativa es un homomorfismo de anillos , del anillo de cobordismo de variedades compactas orientadas suaves a otro anillo, usualmente el anillo de números racionales .

Por ejemplo, el género de Todd está asociado a los polinomios de Todd con series de potencias características.${\displaystyle {\frac {z}{1-\exp(-z)}}}$.

• Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978]. Métodos topológicos en geometría algebraica . Clásicos de las matemáticas. Traducción del alemán y apéndice uno de RLE Schwarzenberger. Apéndice dos de A. Borel (reimpresión de la 2.ª ed., corrección de la 3.ª  ed.). Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-58663-6. Zbl 0843.14009 .