cuantificación plural

Frases como

Alice y Bob cooperan.

Alice, Bob y Carol cooperan.

Se dice que implican un predicado o relación multigrado (también conocido como poliádico variable , también anádico ) ("cooperar" en este ejemplo), lo que significa que representan el mismo concepto aunque no tengan una aridad fija (cf. Linnebo y Nicolas 2008). La noción de relación/predicado multigrado apareció ya en la década de 1940 y fue utilizada notablemente por Quine (cf. Morton 1975). La cuantificación plural se ocupa de formalizar la cuantificación sobre los argumentos de longitud variable de dichos predicados, por ejemplo, " xx cooperar", donde xx es una variable plural. Nótese que en este ejemplo no tiene sentido, semánticamente, instanciar xx con el nombre de una sola persona.

En términos generales, el nominalismo niega la existencia de universales ( entidades abstractas ), como conjuntos, clases, relaciones, propiedades, etc. Por lo tanto, las lógicas plurales se desarrollaron como un intento de formalizar el razonamiento sobre plurales, como los involucrados en predicados multigrado, aparentemente sin recurrir a nociones que los nominalistas niegan, por ejemplo, los conjuntos.

La lógica de primer orden estándar presenta dificultades para representar algunas oraciones con plurales. La más conocida es la oración de Geach-Kaplan : «Algunos críticos se admiran solo entre sí». Kaplan demostró que no es susceptible de ser expresada mediante lógica de primer orden (la demostración se encuentra en dicho artículo). Por lo tanto, su paráfrasis en un lenguaje formal nos obliga a cuantificar conjuntos (es decir, a considerar su existencia).

Boolos argumentó que la cuantificación monádica de segundo orden puede interpretarse sistemáticamente en términos de cuantificación plural y que, por lo tanto, la cuantificación monádica de segundo orden es "ontológicamente inocente". ^{[ 1 ]}

Más tarde, Oliver y Smiley (2001), Rayo (2002), Yi (2005) y McKay (2006) argumentaron que oraciones como

Son compañeros de barco.

Se están reuniendo.

Levantaron un piano.

Están rodeando un edificio.

Solo se admiran el uno al otro.

Tampoco puede interpretarse en lógica monádica de segundo orden. Esto se debe a que predicados como "son compañeros de barco", "se encuentran" o "rodean un edificio" no son distributivos . Un predicado F es distributivo si, siempre que algunas cosas son F, cada una de ellas es F. Pero en lógica estándar, todo predicado monádico es distributivo . Sin embargo, tales oraciones también parecen carecer de cualquier supuesto existencial y no implican cuantificación.

Así pues, se puede proponer una explicación unificada de los términos plurales que permita tanto la satisfacción distributiva como la no distributiva de los predicados, al tiempo que se defiende esta postura frente a la suposición "singularista" de que tales predicados son predicados de conjuntos de individuos (o de sumas mereológicas).

Varios autores han sugerido que la lógica plural abre la posibilidad de simplificar los fundamentos de las matemáticas , evitar las paradojas de la teoría de conjuntos y simplificar los conjuntos de axiomas complejos y poco intuitivos necesarios para evitarlas.

Recientemente, Linnebo y Nicolas (2008) han sugerido que los lenguajes naturales a menudo contienen variables superplurales (y cuantificadores asociados) como "estas personas, esas personas y estas otras personas compiten entre sí" (por ejemplo, como equipos en un juego en línea), mientras que Nicolas (2008) ha argumentado que se debe usar la lógica plural para explicar la semántica de los sustantivos masivos, como "vino" y "muebles".

Las unidades suboracionales se definen como

• Símbolos de predicado${\displaystyle F}$,${\displaystyle G}$, etc. (con las aridades apropiadas, que se dejan implícitas)
• Símbolos de variables singulares${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, etc.
• Símbolos de variables plurales${\displaystyle {\bar {x}}}$,${\displaystyle {\bar {y}}}$, etc.

Las oraciones completas se definen como

• Si${\displaystyle F}$es un símbolo de predicado n -ario, y${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$son símbolos de variables singulares, entonces${\displaystyle F(x_{0},\ldots ,x_{n})}$es una oración.
• Si${\displaystyle P}$es una oración, entonces también lo es${\displaystyle \neg P}$
• Si${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$son oraciones, entonces también lo es${\displaystyle P\land Q}$
• Si${\displaystyle P}$es una oración y${\displaystyle x}$es un símbolo de variable singular, entonces${\displaystyle \exists xP}$es una oración
• Si${\displaystyle x}$es un símbolo de variable singular y${\displaystyle {\bar {y}}}$es un símbolo de variable plural, entonces${\displaystyle x\prec {\bar {y}}}$es una oración (donde ≺ se suele interpretar como la relación "es uno de")
• Si${\displaystyle P}$es una oración y${\displaystyle {\bar {x}}}$es un símbolo de variable plural, entonces${\displaystyle \exists {\bar {x}}.P}$es una oración

Las dos últimas líneas constituyen el único componente esencialmente nuevo de la sintaxis para la lógica plural. Otros símbolos lógicos que se puedan definir en función de estas líneas pueden utilizarse libremente como abreviaturas.

Esta lógica resulta ser equiinterpretable con la lógica monádica de segundo orden .

La teoría/semántica de modelos de la lógica plural es donde se aprovecha la falta de conjuntos de la lógica. Un modelo se define como una tupla.${\displaystyle (D,V,s,R)}$dónde${\displaystyle D}$es el dominio,${\displaystyle V}$es una colección de valoraciones${\displaystyle V_{F}}$para cada nombre de predicado${\displaystyle F}$en el sentido habitual, y${\displaystyle s}$es una secuencia tarskiana (asignación de valores a variables) en el sentido habitual (es decir, un mapa de símbolos de variables singulares a elementos de${\displaystyle D}$). El nuevo componente${\displaystyle R}$es una relación binaria que relaciona valores en el dominio con símbolos de variables plurales.

La satisfacción se da como

• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models F(x_{0},\ldots ,x_{n})}$si y solo si${\displaystyle (s_{x_{0}},\ldots ,s_{x_{n}})\in V_{F}}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \neg P}$si y solo si${\displaystyle (D,V,s,R)\nvDash P}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models P\land Q}$si y solo si${\displaystyle (D,V,s,R)\models P}$y${\displaystyle (D,V,s,R)\models Q}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \exists x.P}$si hay un${\displaystyle s'\approx _{x}s}$de tal manera que${\displaystyle (D,V,s',R)\models P}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}}$si y solo si${\displaystyle s_{x}R{\bar {y}}}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \exists {\bar {x}}.P}$si hay un${\displaystyle R'\approx _{\bar {x}}R}$de tal manera que${\displaystyle (D,V,s,R')\models P}$

Donde para símbolos de variables singulares,${\displaystyle s\approx _{x}s'}$significa que para todos los símbolos de variables singulares${\displaystyle y}$otro que${\displaystyle x}$, sostiene que${\displaystyle s_{y}=s'_{y}}$y para símbolos de variables plurales,${\displaystyle R\approx _{\bar {x}}R'}$significa que para todos los símbolos de variables plurales${\displaystyle {\bar {y}}}$otro que${\displaystyle {\bar {x}}}$y para todos los objetos del dominio${\displaystyle d}$, sostiene que${\displaystyle dR{\bar {y}}=dR'{\bar {y}}}$.

Al igual que en la sintaxis, solo los dos últimos son verdaderamente nuevos en la lógica plural. Boolos observa que al usar relaciones de asignación${\displaystyle R}$El dominio no tiene por qué incluir conjuntos, y por lo tanto la lógica plural logra la inocencia ontológica al tiempo que conserva la capacidad de hablar sobre las extensiones de un predicado. Por lo tanto, el esquema de comprensión de la lógica plural${\displaystyle \exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)}$no produce la paradoja de Russell porque la cuantificación de variables plurales no cuantifica sobre el dominio. Otro aspecto de la lógica tal como la define Boolos, crucial para este eludir la paradoja de Russell, es el hecho de que oraciones de la forma${\displaystyle F({\bar {x}})}$no están bien formados: los nombres de predicados solo pueden combinarse con símbolos de variables singulares, no con símbolos de variables plurales.

Esto puede considerarse el argumento más simple y obvio de que la lógica plural, tal como la definió Boolos, es ontológicamente inocente.