Sistema multidimensional

En la teoría de sistemas matemáticos , un sistema multidimensional o sistema mD es un sistema en el que no solo existe una variable independiente (como el tiempo), sino que hay varias variables independientes.

Problemas importantes como la factorización y estabilidad de sistemas m -D ( m  > 1) han atraído recientemente el interés de muchos investigadores y profesionales. La razón es que la factorización y estabilidad no es una extensión directa de la factorización y estabilidad de sistemas 1-D porque, por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra no existe en el anillo de polinomios m -D ( m  > 1) .

Los sistemas multidimensionales o sistemas m -D son la base matemática necesaria para el procesamiento moderno de imágenes digitales con muchas aplicaciones en biomedicina , tecnología de rayos X y comunicaciones por satélite . ^{[1] [2]} También hay algunos estudios que combinan sistemas m -D con ecuaciones diferenciales parciales (PDE).

Un modelo de espacio de estados es una representación de un sistema en el que el efecto de todos los valores de entrada "previos" está contenido en un vector de estado. En el caso de un sistema m -d, cada dimensión tiene un vector de estado que contiene el efecto de las entradas previas en relación con esa dimensión. La colección de todos esos vectores de estado dimensionales en un punto constituye el vector de estado total en el punto.

Consideremos un sistema lineal bidimensional (2d) uniforme y discreto que es invariante en el espacio y causal. Puede representarse en forma de matriz-vector de la siguiente manera: ^{[3] [4]}

Representa el vector de entrada en cada punto por , el vector de salida por el vector de estado horizontal por y el vector de estado vertical por . Entonces la operación en cada punto se define por: ${\estilo de visualización (i,j)}$${\displaystyle u(i,j)}$${\displaystyle y(i,j)}$${\displaystyle R(i,j)}$${\displaystyle S(i,j)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R(i+1,j)&=A_{1}R(i,j)+A_{2}S(i,j)+B_{1}u(i,j)\\S(i,j+1)&=A_{3}R(i,j)+A_{4}S(i,j)+B_{2}u(i,j)\\y(i,j)&=C_{1}R(i,j)+C_{2}S(i,j)+Du(i,j)\end{aligned}}}$

donde y son matrices de dimensiones apropiadas. ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}}$${\estilo de visualización D}$

Estas ecuaciones se pueden escribir de forma más compacta combinando las matrices:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}R(i+1,j)\\S(i,j+1)\\y(i,j)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&B_{1}\\A_{3}&A_{4}&B_{2}\\C_{1}&C_{2}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R(i,j)\\S(i,j)\\u(i,j)\end{bmatrix}}}$

Dados los vectores de entrada en cada punto y los valores de estado inicial, el valor de cada vector de salida se puede calcular realizando de forma recursiva la operación anterior. ${\displaystyle u(i,j)}$

Un sistema bidimensional lineal discreto a menudo se describe mediante una ecuación de diferencias parciales en la forma: ${\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}y(i-p,j-q)=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}x(i-p,j-q)}$

donde es la entrada y es la salida en el punto y y son coeficientes constantes. ${\displaystyle x(i,j)}$${\displaystyle y(i,j)}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle a_{p,q}}$${\displaystyle b_{p,q}}$

Para derivar una función de transferencia para el sistema, se aplica la transformada Z 2d a ambos lados de la ecuación anterior.

${\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})}$

La transposición produce la función de transferencia : ${\displaystyle T(z_{1},z_{2})}$

${\displaystyle T(z_{1},z_{2})={Y(z_{1},z_{2}) \over X(z_{1},z_{2})}={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}}$

Entonces, dado cualquier patrón de valores de entrada, se calcula la transformada Z 2d del patrón y luego se multiplica por la función de transferencia para producir la transformada Z de la salida del sistema. ${\displaystyle T(z_{1},z_{2})}$

A menudo, una tarea de procesamiento de imágenes u otra tarea computacional de múltiples dimensiones se describe mediante una función de transferencia que tiene ciertas propiedades de filtrado, pero se desea convertirla a la forma de espacio de estados para un cálculo más directo. Dicha conversión se conoce como realización de la función de transferencia.

Consideremos un sistema causal lineal espacialmente invariante 2d que tiene una relación de entrada-salida descrita por:

${\displaystyle Y(z_{1},z_{2})={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}X(z_{1},z_{2})}$

Se consideran dos casos individualmente: 1) la suma inferior es simplemente la constante 1 2) la suma superior es simplemente una constante . El caso 1 se suele denominar caso de "todo cero" o "respuesta al impulso finito", mientras que el caso 2 se denomina caso de "todo polo" o "respuesta al impulso infinito". La situación general se puede implementar como una cascada de los dos casos individuales. La solución para el caso 1 es considerablemente más sencilla que la del caso 2 y se muestra a continuación. ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})}$

Los vectores del espacio de estados tendrán las siguientes dimensiones:

${\displaystyle R(1\times m),\quad S(1\times n),\quad x(1\times 1)}$y${\displaystyle y(1\times 1)}$

Cada término de la suma implica una potencia negativa (o cero) de y de que corresponden a un retraso (o desplazamiento) a lo largo de la dimensión respectiva de la entrada . Este retraso se puede efectuar colocando 's a lo largo de la superdiagonal en las matrices . y y los coeficientes de multiplicación en las posiciones adecuadas en . El valor se coloca en la posición superior de la matriz, que multiplicará la entrada y la sumará al primer componente del vector. Además, se coloca un valor de en la matriz que multiplicará la entrada y la sumará a la salida . Las matrices aparecen entonces de la siguiente manera: ${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle x(i,j)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{4}}$${\displaystyle b_{i,j}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle b_{0,0}}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle x(i,j)}$${\displaystyle R_{i,j}}$${\displaystyle b_{0,0}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x(i,j)}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{3}={\begin{bmatrix}b_{1,n}&b_{2,n}&b_{3,n}&\cdots &b_{m-1,n}&b_{m,n}\\b_{1,n-1}&b_{2,n-1}&b_{3,n-1}&\cdots &b_{m-1,n-1}&b_{m,n-1}\\b_{1,n-2}&b_{2,n-2}&b_{3,n-2}&\cdots &b_{m-1,n-2}&b_{m,n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\b_{1,2}&b_{2,2}&b_{3,2}&\cdots &b_{m-1,2}&b_{m,2}\\b_{1,1}&b_{2,1}&b_{3,1}&\cdots &b_{m-1,1}&b_{m,1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\vdots \\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B_{2}={\begin{bmatrix}b_{0,n}\\b_{0,n-1}\\b_{0,n-2}\\\vdots \\b_{0,2}\\b_{0,1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle C_{1}={\begin{bmatrix}b_{1,0}&b_{2,0}&b_{3,0}&\cdots &b_{m-1,0}&b_{m,0}\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle C_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&1\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}b_{0,0}\end{bmatrix}}}$

^{[3] [4]}