Progresión aritmética generalizada

En matemáticas , una progresión aritmética generalizada (o progresión aritmética múltiple ) es una generalización de una progresión aritmética con múltiples diferencias comunes; mientras que una progresión aritmética se genera mediante una única diferencia común, una progresión aritmética generalizada puede generarse mediante múltiples diferencias comunes. Por ejemplo, la secuencia${\displaystyle 17,20,22,23,25,26,27,28,29,\dots }$No se trata de una progresión aritmética, sino que se genera partiendo de 17 y sumándole 3 o 5, lo que permite que múltiples diferencias comunes la generen. Un conjunto semilineal generaliza esta idea a múltiples dimensiones: es un conjunto de vectores de enteros, en lugar de un conjunto de enteros.

Una progresión aritmética generalizada finita , o a veces simplemente progresión aritmética generalizada (PAG) , de dimensión d se define como un conjunto de la forma $${\displaystyle \{x_{0}+\ell _{1}x_{1}+\cdots +\ell _{d}x_{d}:0\leq \ell _{1}<L_{1},\ldots ,0\leq \ell _{d}<L_{d}\}}$$ dónde${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{d},L_{1},\dots ,L_{d}\in \mathbb {Z} }$. ^{[ 1 ]} El producto${\ Displaystyle L_ {1} L_ {2} \ cdots L_ {d}}$Se denomina tamaño de la progresión aritmética generalizada; la cardinalidad del conjunto puede diferir del tamaño si algunos elementos del conjunto tienen múltiples representaciones. Si la cardinalidad es igual al tamaño, la progresión se denomina propia . Las progresiones aritméticas generalizadas pueden considerarse como una proyección de una cuadrícula de dimensiones superiores en${\displaystyle \mathbb {Z} }$Esta proyección es inyectiva si y solo si la progresión aritmética generalizada es propia.

Formalmente, una progresión aritmética de${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$es una secuencia infinita de la forma${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} +\mathbf {v} ',\mathbf {v} +2\mathbf {v} ',\mathbf {v} +3\mathbf {v} ',\ldots }$, dónde${\displaystyle \mathbf {v} }$y${\displaystyle \mathbf {v} '}$son vectores fijos en${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$, denominados respectivamente vector inicial y diferencia común. Un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$Se dice que es lineal si tiene la forma $${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\sum _{i=1}^{m}k_{i}\mathbf {v} _{i}\,\colon \,k_{1},\dots ,k_{m}\in \mathbb {N} \right\},}$$ dónde${\displaystyle m}$es algún número entero y${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{m}}$son vectores fijos en${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$. Un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$Se dice que es semilineal si es una unión finita de conjuntos lineales.

Los conjuntos semilineales son exactamente los conjuntos definibles en la aritmética de Presburger . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• Teorema de Freiman