Modelo multicompartimental

Un modelo multicompartimental es un tipo de modelo matemático que se utiliza para describir la transmisión de materiales o energías entre los compartimentos de un sistema. A menudo, esto se hace cuando el sistema físico es demasiado complejo para modelarlo con una ecuación completa, por lo que resulta mucho más sencillo discretizar el problema y reducir el número de parámetros. Se supone que cada compartimento es una entidad homogénea dentro de la cual las entidades que se modelan son equivalentes. Un modelo multicompartimental se clasifica como un modelo de parámetros concentrados . Al igual que los modelos matemáticos más generales , los modelos multicompartimentales pueden tratar las variables como continuas, como en una ecuación diferencial , o como discretas, como en una cadena de Markov . Dependiendo del sistema que se modele, pueden tratarse como estocásticos o deterministas.

Los modelos multicompartimentales se utilizan en numerosos campos, como la farmacocinética , la epidemiología , la biomedicina , la teoría de sistemas , la teoría de la complejidad , la ingeniería, la física, la informática y las ciencias sociales. Los sistemas de circuitos también pueden considerarse un modelo multicompartimental. Generalmente, las fórmulas matemáticas de estos modelos se simplifican para proporcionar un único parámetro —como la concentración— dentro de cada compartimento.

En la teoría de sistemas, implica la descripción de una red cuyos componentes son compartimentos que representan una población de elementos equivalentes en cuanto a la forma en que procesan las señales de entrada al compartimento.

• Distribución homogénea instantánea de materiales o energías dentro de un "compartimento".
• La tasa de intercambio de materiales o energías entre los compartimentos está relacionada con las densidades de estos compartimentos.
• Por lo general, es deseable que los materiales no sufran reacciones químicas al ser transferidos entre los compartimentos.
• Cuando interesa la concentración celular, normalmente se supone que el volumen es constante en el tiempo, aunque esto puede no ser del todo cierto en la realidad.

Posiblemente la aplicación más simple del modelo multicompartimental se encuentra en el monitoreo de la concentración en células individuales (ver la figura anterior). Si el volumen de una célula es V , la masa del soluto es q , la entrada es u ( t ) y la secreción de la solución es proporcional a su densidad dentro de la célula, entonces la concentración de la solución C dentro de la célula a lo largo del tiempo viene dada por

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=u(t)-kq}$

${\displaystyle C={\frac {q}{V}}}$

Donde k es la proporcionalidad.

SAAM II ( Simulation Analysis and Modeling 2) es un sistema de software diseñado específicamente para facilitar el desarrollo y la validación de modelos multicompartimentales. Cuenta con una interfaz gráfica de usuario intuitiva que permite construir modelos compartimentales mediante la creación de una representación visual. A partir de este modelo, el programa genera automáticamente sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. SAAM II puede simular y ajustar modelos a datos, proporcionando estimaciones óptimas de parámetros y estadísticas asociadas. Fue desarrollado por científicos que trabajan en metabolismo y cinética hormonal (por ejemplo, glucosa , lípidos o insulina ). ^{[ 1 ]} Posteriormente, se utilizó para estudios de trazadores y farmacocinética. Si bien, en principio, un modelo multicompartimental puede desarrollarse y ejecutarse mediante otros programas, como MATLAB o lenguajes C++, la interfaz de usuario de SAAM II permite al modelador (y a quienes no lo son) controlar mejor el sistema, especialmente a medida que aumenta su complejidad.

Los modelos discretos se ocupan de variables discretas, a menudo un intervalo de tiempo.${\displaystyle \Delta t}$. Un ejemplo de un modelo multicompartimental discreto es una versión discreta del modelo de Lotka-Volterra . ^{[ 2 ]} Aquí consideremos dos compartimentos presa y depredadores denotados por${\displaystyle x(t)}$y${\displaystyle y(t)}$respectivamente. Los compartimentos están acoplados entre sí mediante términos de acción de masas en cada ecuación. Durante un paso de tiempo discreto${\displaystyle \Delta t}$, obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+\alpha x(t)\Delta t-\beta x(t)y(t)\Delta t\\y(t+\Delta t)&=y(t)+\delta x(t)y(t)\Delta t-\gamma y(t)\Delta t.\end{aligned}}}$

Aquí

• el${\displaystyle x(t)}$y${\displaystyle y(t)}$Los términos representan el número de esa población en un momento dado.${\displaystyle t}$;
• el${\displaystyle \alpha x(t)\Delta t}$El término representa el nacimiento de la presa;
• el término acción de masas${\displaystyle \beta x(t)y(t)\Delta t}$es el número de presas que mueren a causa de los depredadores;
• el término acción de masas${\displaystyle \delta x(t)y(t)\Delta t}$representa el nacimiento de depredadores en función de las presas consumidas;
• el${\displaystyle \gamma y(t)\Delta t}$El término es la muerte de los depredadores;
• ${\displaystyle \alpha,\beta,\delta,}$y${\displaystyle \gamma }$son parámetros de valor real que determinan los pesos de cada término de transición.

Estas ecuaciones se resuelven fácilmente de forma iterativa.

El ejemplo discreto de Lotka-Volterra anterior se puede convertir en una versión continua reordenando y tomando el límite como${\displaystyle \Delta t\rightarrow 0}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}\equiv {\frac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy\\&\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}}\equiv {\frac {dy}{dt}}=\delta xy-\gamma y\end{aligned}}}$

Esto da como resultado un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Al tratar este modelo como un sistema de ecuaciones diferenciales, se pueden aplicar métodos de cálculo para estudiar la dinámica del sistema con mayor profundidad.

A medida que aumenta el número de compartimentos, el modelo puede volverse muy complejo y las soluciones suelen ir más allá de los cálculos ordinarios.

Las fórmulas para los modelos multicompartimentales de n células se convierten en:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}_{1}=q_{1}k_{11}+q_{2}k_{12}+\cdots +q_{n}k_{1n}+u_{1}(t)\\{\dot {q}}_{2}=q_{1}k_{21}+q_{2}k_{22}+\cdots +q_{n}k_{2n}+u_{2}(t)\\\vdots \\{\dot {q}}_{n}=q_{1}k_{n1}+q_{2}k_{n2}+\cdots +q_{n}k_{nn}+u_{n}(t)\end{aligned}}}$

Dónde

${\displaystyle 0=\sum _{i=1}^{n}{k_{ij}}}$para${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$(ya que el "contenido" total de todos los compartimentos es constante en un sistema cerrado)

O en forma de matriz:

${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} =\mathbf {Kq} +\mathbf {u} }$

Dónde

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots &k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\cdots &k_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{n1}&k_{n2}&\cdots &k_{nn}\\\end{bmatrix}}\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{1}\\q_{2}\\\vdots \\q_{n}\end{bmatrix}}\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\\vdots \\u_{n}(t)\end{bmatrix}}}$y${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}$(ya que el "contenido" total de todos los compartimentos es constante en un sistema cerrado)

En el caso especial de un sistema cerrado (ver más abajo), es decir, donde${\displaystyle \mathbf {u} =0}$Entonces existe una solución general.

${\displaystyle \mathbf {q} =c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}} }$

Dónde${\displaystyle \lambda _{1}}$,${\displaystyle \lambda _{2}}$, ... y${\displaystyle \lambda _{n}}$son los valores propios de${\displaystyle \mathbf {K} }$;${\displaystyle \mathbf {v_{1}} }$,${\displaystyle \mathbf {v_{2}} }$, ... y${\displaystyle \mathbf {v_ {n}}}$son los respectivos autovectores de${\displaystyle \mathbf {K} }$; y${\displaystyle c_{1}}$,${\displaystyle c_{2}}$, .... y${\displaystyle c_{n}}$son constantes.

Sin embargo, se puede demostrar que, dado el requisito anterior de asegurar que el "contenido" de un sistema cerrado sea constante, entonces para cada par de valor propio y vector propio, entonces:${\displaystyle \lambda =0}$o${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {v} =0}$y también que un valor propio es 0, por ejemplo${\displaystyle \lambda _{1}}$

Entonces

${\displaystyle \mathbf {q} =c_{1}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}} }$

Dónde

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {v_{i}} =0}$para${\displaystyle \mathbf {i} =2,3,\dots n}$

Esta solución se puede reorganizar:

${\displaystyle \mathbf {q} ={\Bigg [}\mathbf {v_{1}} {\begin{bmatrix}c_{1}&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}+\mathbf {v_{2}} {\begin{bmatrix}0&c_{2}&\cdots &0\\\end{bmatrix}}+\dots +\mathbf {v_{n}} {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &c_{n}\\\end{bmatrix}}{\Bigg ]}{\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{bmatrix}}}$

Esta ecuación, algo tosca, demuestra que todas las soluciones de un modelo multicompartimental de n células con entradas constantes o nulas tienen la forma:

${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {A} {\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{bmatrix}}}$

Dónde${\displaystyle \mathbf {A} }$es una matriz nxn y${\displaystyle \lambda _{2}}$,${\displaystyle \lambda _{3}}$, ... y${\displaystyle \lambda _{n}}$son constantes. Donde${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}$

En general, a medida que aumenta el número de compartimentos, resulta más difícil encontrar las soluciones algebraicas y numéricas del modelo. Sin embargo, existen casos especiales de modelos, poco comunes en la naturaleza, en los que las topologías presentan ciertas regularidades que facilitan la búsqueda de soluciones. El modelo puede clasificarse según la interconexión de las celdas y las características de entrada/salida.

1. Modelo cerrado : Sin sumideros ni fuentes, es decir, todos los k _oi = 0 y u _i = 0;
2. Modelo abierto : Existen sumideros y/o fuentes entre las celdas.
3. Modelo catenario : Todos los compartimentos están dispuestos en cadena, y cada piscina se conecta únicamente con sus vecinas. Este modelo tiene dos o más celdas.
4. Modelo cíclico : Es un caso especial del modelo catenario, con tres o más celdas, en el que la primera y la última celda están conectadas, es decir k _{1 n} ≠ 0 o/y k _{n 1} ≠ 0.
5. Modelo mamilar : Consiste en un compartimento central con compartimentos periféricos conectados a él. No existen interconexiones entre los demás compartimentos.
6. Modelo reducible : Es un conjunto de modelos no conectados. Guarda gran semejanza con el concepto informático de bosque frente a árboles .

• Modelo matemático
• Ingeniería biomédica
• Modelos biológicos de neuronas
• Modelos compartimentales en epidemiología
• Modelado farmacocinético basado en la fisiología

• Godfrey, K., Modelos compartimentales y su aplicación , Academic Press, 1983 ( ISBN) 0-12-286970-2).
• Anderson, DH, Modelado compartimental y cinética de trazadores , Springer-Verlag Lecture Notes in Biomathematics #50, 1983 ( ISBN) 0-387-12303-2).
• Jacquez, J. A., Análisis compartimental en biología y medicina , 2.ª ed., The University of Michigan Press, 1985.
• Evans, WC, Sistemas lineales, modelado compartimental y problemas de estimabilidad en estudios de calidad del aire interior, en Tichenor, B., Caracterización de fuentes de contaminación del aire interior y efectos de sumidero relacionados , ASTM STP 1287, págs.  239–262, 1996 ( ISBN 0-8031-2030-3).