Singularidad móvil

Soluciones a la ecuación diferencial sujeta a las condiciones iniciales y(0)=0, 1 y 2 (curvas roja, verde y azul respectivamente). Las posiciones de la singularidad móvil en x= 0, -1 y -4 están indicadas por las líneas verticales. ${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2y}}$

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2y}}} — Soluciones a la ecuación diferencial sujeta a las condiciones iniciales y(0)=0, 1 y 2 (curvas roja, verde y azul respectivamente). Las posiciones de la singularidad móvil en x= 0, -1 y -4 están indicadas por las líneas verticales. ${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2y}}$

En la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias , una singularidad móvil es un punto donde la solución de la ecuación se comporta de manera anómala y que es "móvil" en el sentido de que su ubicación depende de las condiciones iniciales de la ecuación diferencial. ^{[ 1 ]} Supongamos que tenemos una ecuación diferencial ordinaria en el dominio complejo. Cualquier solución dada y ( x ) de esta ecuación puede tener singularidades en varios puntos (es decir, puntos en los que no es una función holomorfa regular , como puntos de ramificación , singularidades esenciales o polos ). Se dice que un punto singular es móvil si su ubicación depende de la solución particular que hemos elegido, en lugar de estar fijada por la ecuación misma.

Por ejemplo la ecuación

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2y}}

tiene solución para cualquier constante c . Esta solución tiene un punto de ramificación en , y por lo tanto la ecuación tiene un punto de ramificación móvil (ya que depende de la elección de la solución, es decir, de la elección de la constante c ). $y={\sqrt {xc}}$ $x=c$

Una característica básica de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales es que las singularidades de las soluciones solo se producen en las singularidades de la ecuación, por lo que las ecuaciones lineales no tienen singularidades móviles.

Cuando se intenta buscar ecuaciones diferenciales no lineales "buenas", es esta propiedad de las ecuaciones lineales la que uno querría ver: pedir que no haya singularidades móviles suele ser demasiado estricto, en su lugar se suele pedir la llamada propiedad de Painlevé : "cualquier singularidad móvil debe ser un polo", utilizada por primera vez por Sofia Kovalevskaya .

Véase también

Referencias

^ Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. (1999). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros: métodos asintóticos y series de perturbación . Springer. págs. 7 .

Einar Hille (1997), Ecuaciones diferenciales ordinarias en el dominio complejo , Dover. ISBN 0-486-69620-0

[BenderOrszag7-1] Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. (1999). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros: métodos asintóticos y series de perturbación . Springer. págs. 7 .

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Véase también

Referencias

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