Lema del colapso de Mostowski

En lógica matemática , el lema del colapso de Mostowski , también conocido como el colapso de Shepherdson - Mostowski , es un teorema de la teoría de conjuntos introducido por Andrzej Mostowski ( 1949 , teorema 3) y John Shepherdson ( 1953 ) .  

Supongamos que R es una relación binaria en una clase X tal que

• R es similar a un conjunto : R ⁻¹ [ x ] = { y  : y R x } es un conjunto para cada x ,
• R está bien fundamentado : todo subconjunto no vacío S de X contiene un elemento R -minimal (es decir, un elemento x ∈ S tal que R ⁻¹ [ x ] ∩ S es vacío),
• R es extensional : R ⁻¹ [ x ] ≠ R ⁻¹ [ y ] para cada elemento distinto x e y de X

El lema de colapso de Mostowski establece que para cada R de este tipo existe una única clase transitiva (posiblemente propia ) cuya estructura bajo la relación de pertenencia es isomorfa a ( X , R ), y el isomorfismo es único. El isomorfismo asigna a cada elemento x de X el conjunto de imágenes de elementos y de X tales que y ∈ R x (Jech 2003:69).

Toda relación de tipo conjunto bien fundamentada puede incrustarse en una relación extensional de tipo conjunto bien fundamentada. Esto implica la siguiente variante del lema de colapso de Mostowski: toda relación de tipo conjunto bien fundamentada es isomorfa a la pertenencia a un conjunto en una clase (no única y no necesariamente transitiva).

Se puede definir una aplicación F tal que F ( x ) = { F ( y )  : y R x } para todo x en X mediante recursión bien fundada para cualquier relación de tipo conjunto bien fundada R en X. Esta aplicación proporciona un homomorfismo de R sobre una clase transitiva (no única, en general). El homomorfismo F es un isomorfismo si y solo si R es extensional.

La suposición de buena fundamentación del lema de Mostowski puede atenuarse o eliminarse en teorías de conjuntos no bien fundadas . En la teoría de conjuntos de Boffa, toda relación extensional de tipo conjunto es isomorfa a la pertenencia a un conjunto en una clase transitiva (no única). En la teoría de conjuntos con el axioma de antifundación de Aczel , toda relación de tipo conjunto es bisimilar a la pertenencia a un conjunto en una clase transitiva única; por lo tanto, toda relación de tipo conjunto mínima en bisimulación es isomorfa a una clase transitiva única.

Todo modelo de conjunto de ZF es de tipo conjunto y extensional. Si el modelo está bien fundado, entonces, por el lema de colapso de Mostowski, es isomorfo a un modelo transitivo de ZF, y dicho modelo transitivo es único.

Decir que la relación de pertenencia de algún modelo de ZF está bien fundada es más fuerte que decir que el axioma de regularidad es verdadero en el modelo. Existe un modelo M = ( X , R ) (suponiendo la consistencia de ZF) cuyo dominio X tiene un subconjunto A sin ningún elemento R -minimal, pero este conjunto A no es un "conjunto en el modelo". Más precisamente, no hay ningún x en X tal que A = R ⁻¹ [ x ]. Por lo tanto, M satisface el axioma de regularidad (está bien fundado "internamente"), pero M no está bien fundado y el lema de colapso de Mostowski no se aplica a él.

• Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos , Monografías de Springer en matemáticas (  edición del tercer milenio), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
• Mostowski, Andrzej (1949), "Un enunciado aritmético indecidible" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 36 (1), Instituto de Matemáticas de la Academia Polaca de Ciencias: 143–164 , doi : 10.4064/fm-36-1-143-164
• Shepherdson, John (1953), "Modelos internos para la teoría de conjuntos, Parte III", Journal of Symbolic Logic , 18 (2), Association for Symbolic Logic: 145–167 , doi : 10.2307/2268947 , JSTOR 2268947 , S2CID 35526998