esqueleto morfológico

En ( Lantuéjoul 1977 ), ^{[ 1 ]} Lantuéjoul derivó la siguiente fórmula morfológica para el esqueleto de una imagen binaria continua${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{2}}$:

${\displaystyle S(X)=\bigcup _{\rho >0}\bigcap _{\mu >0}\left[(X\ominus \rho B)-(X\ominus \rho B)\circ \mu {\overline {B}}\right]}$,

dónde${\displaystyle \ominus }$y${\displaystyle \circ }$son la erosión morfológica y la apertura , respectivamente,${\displaystyle \rho B}$es una bola abierta de radio${\displaystyle \rho }$, y${\displaystyle {\overline {B}}}$es el cierre de${\displaystyle B}$.

Dejar${\displaystyle \{nB\}}$,${\displaystyle n=0,1,\ldots }$, sea una familia de formas, donde B es un elemento estructurante ,

${\displaystyle nB=\underbrace {B\oplus \cdots \oplus B} _{n{\mbox{ veces}}}}$, y

${\displaystyle 0B=\{o\}}$, donde o denota el origen.

La variable n se denomina tamaño del elemento estructurante.

La fórmula de Lantuéjoul se ha discretizado de la siguiente manera. Para una imagen binaria discreta${\displaystyle X\subset \mathbb {Z} ^{2}}$, el esqueleto S(X) es la unión de los subconjuntos del esqueleto${\displaystyle \{S_{n}(X)\}}$,${\displaystyle n=0,1,\ldots ,N}$, dónde:

${\displaystyle S_{n}(X)=(X\ominus nB)-(X\ominus nB)\circ B}$.

La forma original X se puede reconstruir a partir del conjunto de subconjuntos del esqueleto.${\displaystyle \{S_{n}(X)\}}$como sigue:

${\displaystyle X=\bigcup _{n}(S_{n}(X)\oplus nB)}$.

También se pueden realizar reconstrucciones parciales, lo que da lugar a versiones abiertas de la forma original:

${\displaystyle \bigcup _{n\geq m}(S_{n}(X)\oplus nB)=X\circ mB}$.

Dejar${\displaystyle nB_{z}}$ser la versión traducida de${\displaystyle nB}$hasta el punto z , es decir,${\displaystyle nB_{z}=\{x\in E|xz\in nB\}}$.

Una forma${\displaystyle nB_{z}}$Un disco centrado en z se denomina disco maximal en un conjunto A cuando:

• ${\displaystyle nB_{z}\in A}$, y
• si, para algún entero m y algún punto y ,${\displaystyle nB_{z}\subseteq mB_{y}}$, entonces${\displaystyle mB_{y}\not \subsetequ A}$.

Cada subconjunto de esqueleto${\displaystyle S_{n}(X)}$consta de los centros de todos los discos máximos de tamaño n .