Espectro de una teoría

En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , el espectro de una teoría viene dado por el número de clases de isomorfismo de modelos en diversas cardinalidades . Más precisamente, para cualquier teoría completa T en un lenguaje, escribimos I ( T , κ ) para el número de modelos de T (salvo isomorfismo) de cardinalidad κ . El problema del espectro consiste en describir los posibles comportamientos de I ( T , κ ) en función de κ . Este problema se ha resuelto casi por completo para el caso de una teoría T numerable .

En esta sección, T es una teoría completa numerable y κ ​​es un cardinal.

El teorema de Löwenheim-Skolem muestra que si I ( T , κ ) es distinto de cero para un cardinal infinito, entonces es distinto de cero para todos ellos.

El teorema de categoricidad de Morley fue el primer paso principal para resolver el problema del espectro: establece que si I ( T , κ ) es 1 para algún κ no numerable , entonces es 1 para todos los κ no numerables .

Robert Vaught demostró que I ( T ,ℵ ₀ ) no puede ser 2. Es fácil encontrar ejemplos donde es cualquier entero no negativo distinto de 2. Morley demostró que si I ( T ,ℵ ₀ ) es infinito, entonces debe ser ℵ ₀ o ℵ ₁ o 2 ^{ℵ ₀} . Se desconoce si puede ser ℵ ₁ si la hipótesis del continuo es falsa: esto se conoce como la conjetura de Vaught y es el principal problema abierto restante (en 2005) en la teoría del espectro.

El problema de Morley era una conjetura (ahora un teorema) propuesta inicialmente por Michael D. Morley: que I ( T , κ ) es no decreciente en κ para κ no numerable . Esto fue demostrado por Saharon Shelah . Para ello, demostró un teorema de dicotomía muy profundo.

Saharon Shelah dio una solución casi completa al problema del espectro. Para una teoría completa T dada , o bien I ( T , κ ) = 2 ^κ para todos los cardinales no numerables κ , o bien${\displaystyle \textstyle I(T,\aleph _{\xi })<\beth _{\omega _{1}}(|\xi |+\aleph _{0})}$para todos los ordinales ξ (véase Número Aleph y Número Beth para una explicación de la notación), que suele ser mucho menor que el límite en el primer caso. En términos generales, esto significa que o bien existe el número máximo posible de modelos en todas las cardinalidades no numerables, o bien existen muy pocos modelos en todas las cardinalidades no numerables. Shelah también describió los posibles espectros en el caso de que existan pocos modelos.

Al extender el trabajo de Shelah, Bradd Hart, Ehud Hrushovski y Michael C. Laskowski dieron la siguiente solución completa al problema del espectro para teorías numerables en cardinalidades no numerables. Si T es una teoría numerable completa, entonces el número I( T , ℵ _α ) de clases de isomorfismo de modelos viene dado para ordinales α>0 por el mínimo de 2 ^{ℵ _α} y uno de los siguientes mapas:

1. 2 ^{ℵ _α} . Ejemplos: hay muchos ejemplos, en particular cualquier teoría inclasificable o profunda, como la teoría del grafo de Rado .
2. ${\displaystyle \beth _{d+1}(|\alpha +\omega |)}$para algún ordinal infinito numerable d . (Para d finito, véase el caso 8). Ejemplos: La teoría con relaciones de equivalencia E _β para todo β con β+1< d , de tal manera que cada clase E _γ es una unión de infinitas clases E _β , y cada clase E ₀ es infinita.
3. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})}$para algún ordinal positivo finito d . Ejemplo (para d = 1): la teoría de una cantidad numerable de predicados unarios independientes.
4. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})}$para algún ordinal positivo finito d .
5. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})}$para algún ordinal positivo finito d ;
6. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})}$para algún ordinal positivo finito d . Ejemplo (para d = 1): la teoría de predicados unarios disjuntos numerables.
7. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})}$para algún ordinal finito d ≥2;
8. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |)}$para algún ordinal positivo finito d ;
9. ${\displaystyle \beth _{d-2}(|\alpha +\omega |^{|\alpha +1|})}$para algún ordinal finito d ≥2; Ejemplos: similar al caso 2.
10. ${\displaystyle \beth _{2}}$Ejemplo: la teoría de los números enteros vista como un grupo abeliano.
11. ${\displaystyle |(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|}$para α finito, y |α| para α infinito, donde G es algún subgrupo del grupo simétrico sobre n ≥ 2 elementos. Aquí, identificamos α ⁿ con el conjunto de secuencias de longitud n de elementos de un conjunto de tamaño α. G actúa sobre α ⁿ permutando los elementos de la secuencia, y |α ⁿ / G | denota el número de órbitas de esta acción. Ejemplos: la teoría del conjunto ω × n sobre el que actúa el producto de corona de G con todas las permutaciones de ω.
12. ${\displaystyle 1}$Ejemplos: teorías que son categóricas en cardinales no numerables, como la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados en una característica dada.
13. ${\displaystyle 0}$Ejemplos: teorías con un modelo finito y la teoría inconsistente.

Además, todas las posibilidades anteriores se dan como el espectro de alguna teoría completa numerable.

El número d en la lista anterior es la profundidad de la teoría. Si T es una teoría, definimos una nueva teoría 2 ^T como la teoría con una relación de equivalencia tal que hay infinitas clases de equivalencia, cada una de las cuales es un modelo de T. También definimos teorías.${\displaystyle \beth _{n}(T)}$por${\displaystyle \beth _{0}(T)=T}$,${\displaystyle \beth _{n+1}(T)=2^{\beth _{n}(T)}}$. Entonces ${\displaystyle I(\beth _{n}(T),\lambda )=\min(\beth _{n}(I(T,\lambda )),2^{\lambda })}$. Esto se puede utilizar para construir ejemplos de teorías con espectros en la lista anterior para valores no mínimos de d a partir de ejemplos para el valor mínimo de d .

• Espectro de una oración

• CC Chang , HJ Keisler , Teoría de modelos . ISBN 0-7204-0692-7
• Saharon Shelah , "Teoría de la clasificación y el número de modelos no isomorfos", Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas , vol. 92, IX, 1.19, p.49 (North Holland, 1990).
• Hart, Bradd; Hrushovski, Ehud; Laskowski, Michael C. (2000). "The Uncountable Spectra of Countable Theories". The Annals of Mathematics . 152 (1): 207– 257. arXiv : math/0007199 . Bibcode : 2000math......7199H . doi : 10.2307/2661382 . JSTOR 2661382 . 
• Bradd Hart, Michael C. Laskowski, «Un estudio de los espectros no numerables de las teorías numerables», Teoría de modelos algebraicos , editado por Hart, Lachlan, Valeriote (Springer, 1997). ISBN 0-7923-4666-1