Monus

En matemáticas, el operador monus se define sobre ciertos monoides conmutativos que no son grupos . Un monoide conmutativo sobre el cual se define el operador monus se denomina monoide conmutativo con monus ( MMC) . El operador monus puede denotarse con el signo menos , " ", porque los números naturales son un MMC bajo la resta . También se denota con un signo menos punteado, " ", para distinguirlo del operador de resta estándar. ${\displaystyle -}$${\displaystyle \mathbin {\dot {-}} }$

Se observa un uso del símbolo monus en la tesis doctoral de Dennis Ritchie de 1968. ^{[ 2 ]}

Sea un monoide conmutativo . Definimos una relación binaria en este monoide de la siguiente manera: para cualesquiera dos elementos y , definimos si existe un elemento tal que . Es fácil comprobar que es reflexiva ^{[ 3 ]} y que es transitiva . ^{[ 4 ]} se denomina naturalmente ordenada si la relación es además antisimétrica y, por lo tanto, un orden parcial . Además, si para cada par de elementos y , existe un único elemento más pequeño tal que , entonces M se denomina monoide conmutativo con monus ^{[ 5 ]} y el monus de cualesquiera dos elementos y se puede definir como este único elemento más pequeño tal que . ${\displaystyle (M,+,0)}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a+c=b}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle a\leq b+c_{0}}$${\displaystyle a\mathbin {\dot {-}} b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle a\leq b+c_{0}}$

Un ejemplo de monoide conmutativo que no está ordenado naturalmente es , el monoide conmutativo de los enteros con la suma usual , ya que para cualquier existe tal que , por lo que se cumple para cualquier , por lo que no es antisimétrico y, por lo tanto, no es un orden parcial. También hay ejemplos de monoides que están ordenados naturalmente pero no son semianillos con monus. ^{[ 6 ]}${\displaystyle (\mathbb {Z},+,0)}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle a+c=b}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \leq }$

Más allá de los monoides, la noción de monus puede aplicarse a otras estructuras. Por ejemplo, un semianillo naturalmente ordenado (a veces llamado dioide ^{[ 7 ]} ) es un semianillo donde el monoide conmutativo inducido por el operador de adición está naturalmente ordenado. Cuando este monoide es un monoide conmutativo con monus, el semianillo se denomina semianillo con monus o m-semianillo .

Si M es un ideal en un álgebra booleana , entonces M es un monoide conmutativo con monus bajo y . ^{[ 5 ]}${\displaystyle a+b=a\vee b}$${\displaystyle a\mathbin {\dot {-}} b=a\wedge \neg b}$

Los números naturales, incluido el 0, forman un monoide conmutativo con monus, cuyo orden es el orden habitual de los números naturales y el operador monus es una variante saturante de la resta estándar, denominada de diversas maneras como resta truncada , ^{[ 8 ]} resta limitada , resta propia , doz ( diferencia o cero ), ^{[ 9 ]} y monus . ^{[ 10 ]} La resta truncada se define habitualmente como ^{[ 8 ]}

${\displaystyle a\mathbin {\dot {-}} b={\begin{cases}0&{\mbox{si }}a<b\\ab&{\mbox{si }}a\geq b,\end{cases}}}$

donde − denota la resta estándar . Por ejemplo, y en la resta regular, mientras que en la resta truncada . La resta truncada también puede definirse como ^{[ 10 ].}${\displaystyle 5-3=2}$${\displaystyle 3-5=-2}$${\displaystyle 3\mathbin {\dot {-}} 5=0}$

${\displaystyle a\mathbin {\dot {-}} b=\max(ab,0).}$

En la aritmética de Peano , la resta truncada se define en términos de la función predecesora P (la inversa de la función sucesora ): ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}P(0)&=0\\P(S(a))&=a\\a\mathbin {\dot {-}} 0&=a\\a\mathbin {\dot {-}} S(b)&=P(a\mathbin {\dot {-}} b).\end{aligned}}}$

Una definición que no necesita la función predecesora es:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\mathbin {\dot {-}} 0&=a\\0\mathbin {\dot {-}} b&=0\\S(a)\mathbin {\dot {-}} S(b)&=a\mathbin {\dot {-}} b.\end{aligned}}}$

La resta truncada es útil en contextos como las funciones recursivas primitivas , que no están definidas sobre números negativos. ^{[ 8 ]} La resta truncada también se utiliza en la definición del operador de diferencia de multiconjuntos .

La clase de todos los monoides conmutativos con monus forman una variedad . ^{[ 5 ]} La base ecuacional para la variedad de todos los CMM consiste en los axiomas para monoides conmutativos , así como en los siguientes axiomas:

${\displaystyle {\begin{aligned}a+(b\mathbin {\dot {-}} a)&=b+(a\mathbin {\dot {-}} b),\\(a\mathbin {\dot {-}} b)\mathbin {\dot {-}} c&=a\mathbin {\dot {-}} (b+c),\\(a\mathbin {\dot {-}} a)&=0,\\(0\mathbin {\dot {-}} a)&=0.\\\end{aligned}}}$

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