Método de Monte Carlo en mecánica estadística

En física estadística, el método de Monte Carlo se refiere a la aplicación del método de Monte Carlo a problemas de física estadística o mecánica estadística .

Descripción general

La motivación general para utilizar el método de Monte Carlo en física estadística es evaluar una integral multivariable. El problema típico comienza con un sistema cuyo hamiltoniano es conocido, se encuentra a una temperatura dada y sigue la estadística de Boltzmann . Para obtener el valor medio de alguna variable macroscópica, digamos A, el enfoque general consiste en calcular, sobre todo el espacio de fases , PS para simplificar, el valor medio de A utilizando la distribución de Boltzmann:

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}

.

dónde $E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}$ es la energía del sistema para un estado dado definido por ${\vec {r}}$ - un vector con todos los grados de libertad (por ejemplo, para un sistema mecánico, ${\vec {r}}=\left({\vec {q}},{\vec {p}}\right)$ ), $\beta \equiv 1/k_{b}T$ y

Z=\int _{PS}e^{-\beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}

es la función de partición .

Una posible solución para esta integral multivariable consiste en enumerar con exactitud todas las configuraciones posibles del sistema y calcular promedios según sea necesario. Esto se realiza en sistemas con solución exacta y en simulaciones de sistemas simples con pocas partículas. En sistemas realistas, en cambio, una enumeración exacta puede resultar difícil o imposible de implementar.

Para esos sistemas, generalmente se emplea la integración de Monte Carlo (y no confundir con el método de Monte Carlo , que se utiliza para simular cadenas moleculares). La principal motivación para su uso es el hecho de que, con la integración de Monte Carlo, el error va como $1/{\sqrt {N}}$ , independientemente de la dimensión de la integral. Otro concepto importante relacionado con la integración de Monte Carlo es el muestreo de importancia , una técnica que mejora el tiempo de cálculo de la simulación.

En las siguientes secciones se analiza la implementación general de la integración de Monte Carlo para resolver este tipo de problemas.

Muestreo de importancia

Una estimación, bajo integración de Monte Carlo, de una integral definida como

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}/Z

es

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z

dónde ${\vec {r}}_{i}$ se obtienen uniformemente de todo el espacio de fases (PS) y N es el número de puntos de muestreo (o evaluaciones de la función).

De todo el espacio de fases, algunas zonas son generalmente más importantes para la media de la variable. $A$ que otros. En particular, aquellos que tienen el valor de $e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}$ Los estados con valores suficientemente altos en comparación con el resto del espectro energético son los más relevantes para la integral. Partiendo de este hecho, surge la pregunta natural: ¿es posible seleccionar, con mayor frecuencia, los estados que se sabe que son más relevantes para la integral? La respuesta es sí, utilizando la técnica de muestreo por importancia .

Supongamos que $p({\vec {r}})$ es una distribución que elige los estados que se sabe que son más relevantes para la integral.

El valor medio de $A$ puede reescribirse como

\langle A\rangle =\int _{PS}p^{-1}({\vec {r}}){\frac {A_{\vec {r}}}{p^{-1}({\vec {r}})}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}=\int _{PS}p^{-1}({\vec {r}})A_{\vec {r}}^{*}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}

,

dónde $A_{\vec {r}}^{*}$ son los valores muestreados teniendo en cuenta la probabilidad de importancia $p({\vec {r}})$ Esta integral puede estimarse mediante

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}p^{-1}({\vec {r}}_{i})A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z

dónde ${\vec {r}}_{i}$ ahora se generan aleatoriamente usando el $p({\vec {r}})$ distribución. Dado que la mayoría de las veces no es fácil encontrar una forma de generar estados con una distribución dada, se debe utilizar el algoritmo de Metropolis .

Canónico

Debido a que se sabe que los estados más probables son aquellos que maximizan la distribución de Boltzmann, una buena distribución, $p({\vec {r}})$ Para elegir el muestreo de importancia, se utiliza la distribución de Boltzmann o la distribución canónica.

p({\vec {r}})={\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}

sea la distribución a utilizar. Sustituyendo en la suma anterior,

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}

.

Por lo tanto, el procedimiento para obtener un valor medio de una variable dada, utilizando el algoritmo de Metropolis, con la distribución canónica, consiste en utilizar el algoritmo de Metropolis para generar estados dados por la distribución. $p({\vec {r}})$ y realizar significa sobre $A_{\vec {r}}^{*}$ .

Un aspecto importante que debe tenerse en cuenta al utilizar el algoritmo de Metropolis con la distribución canónica es al realizar una medida determinada, es decir, la realización de ${\vec {r}}_{i}$ Es necesario asegurar que dicha realización no esté correlacionada con el estado anterior del sistema (de lo contrario, los estados no se generarían de forma aleatoria). En sistemas con brechas de energía relevantes, este es el principal inconveniente del uso de la distribución canónica, ya que el tiempo necesario para que el sistema se descorrelacione del estado anterior puede tender al infinito.

Multicanónico

Como se mencionó anteriormente, el enfoque microcanónico presenta una desventaja importante, que se vuelve relevante en la mayoría de los sistemas que utilizan la integración de Monte Carlo. Para aquellos sistemas con "paisajes energéticos irregulares", se puede utilizar el enfoque multicanónico.

El enfoque multicanónico utiliza una opción diferente para el muestreo de importancia:

p({\vec {r}})={\frac {1}{\Omega (E_{\vec {r}})}}

dónde $\Omega (E)$ es la densidad de estados del sistema. La principal ventaja de esta elección es que el histograma de energía es plano, es decir, los estados generados se distribuyen uniformemente en función de la energía. Esto significa que, al usar el algoritmo de Metropolis, la simulación no percibe el "paisaje energético irregular", ya que cada energía se trata por igual.

El principal inconveniente de esta opción es el hecho de que, en la mayoría de los sistemas, $\Omega (E)$ es desconocido. Para superar esto, normalmente se utiliza el algoritmo de Wang y Landau para obtener la DOS durante la simulación. Tenga en cuenta que una vez que se conoce la DOS, se pueden calcular los valores medios de cada variable para cada temperatura, ya que la generación de estados no depende de $\beta$ .

Implementación

En esta sección, la implementación se centrará en el modelo de Ising . Consideremos una red de espines bidimensional , con L espines (sitios de la red) en cada lado. Hay naturalmente $N=L^{2}$ espines, y por lo tanto, el espacio de fases es discreto y se caracteriza por N espines, ${\vec {r}}=(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{N})$ dónde $\sigma _{i}\in \{-1,1\}$ es el espín de cada sitio de la red. La energía del sistema viene dada por $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ , dónde $viz_{i}$ son el conjunto de espines de primera vecindad de i y J es la matriz de interacción (para un modelo de Ising ferromagnético , J es la matriz identidad ). El problema está planteado.

En este ejemplo, el objetivo es obtener $\langle M\rangle$ y $\langle M^{2}\rangle$ (por ejemplo, para obtener la susceptibilidad magnética del sistema) ya que es sencillo generalizar a otras observables. Según la definición, $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ .

Canónico

Primero, el sistema debe ser inicializado: $\beta =1/k_{b}T$ Sea la temperatura de Boltzmann del sistema e inicialice el sistema con un estado inicial (que puede ser cualquiera, ya que el resultado final no debe depender de él).

Con la elección microcanónica, se debe emplear el método de Metropolis. Dado que no hay una forma correcta de elegir qué estado seleccionar, se puede particularizar y optar por intentar invertir un espín a la vez. Esta elección se suele denominar inversión de un solo espín . Se deben realizar los siguientes pasos para llevar a cabo una sola medición.

paso 1: generar un estado que siga el $p({\vec {r}})$ distribución:

Paso 1.1: Realizar TT veces la siguiente iteración:

Paso 1.1.1: Elija un sitio de la red al azar (con probabilidad 1/N), que se denominará i, con espín $\sigma _{i}$ .

Paso 1.1.2: elige un número aleatorio $\alpha \in [0,1]$ .

Paso 1.1.3: Calcular el cambio de energía al intentar invertir el espín i:

\Delta E=2\sigma _{i}\sum _{j\in viz_{i}}\sigma _{j}

y su cambio de magnetización : $\Delta M=-2\sigma _{i}$

paso 1.1.4: si $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ , voltea el giro ( $\sigma _{i}=-\sigma _{i}$ ), de lo contrario, no lo hagas.

Paso 1.1.5: Actualizar las distintas variables macroscópicas en caso de que el espín haya cambiado: $E=E+\Delta E$ , $M=M+\Delta M$

Después de TT tiempos, se considera que el sistema no está correlacionado con su estado anterior, lo que significa que, en este momento, la probabilidad de que el sistema esté en un estado dado sigue la distribución de Boltzmann, que es el objetivo propuesto por este método.

Paso 2: realizar la medición:

paso 2.1: guardar, en un histograma, los valores de M y M ² .

TT no es fácil de estimar porque no es fácil decir cuándo el sistema se descorrelaciona del estado anterior. Para superar este punto, generalmente no se usa un TT fijo, sino TT como un tiempo de tunelización . Un tiempo de tunelización se define como el número de pasos 1. que el sistema necesita dar para ir desde el mínimo de su energía hasta el máximo de su energía y regresar.

Una desventaja importante de este método con la elección de inversión de espín única en sistemas como el modelo de Ising es que el tiempo de tunelización escala como una ley de potencias . $N^{2+z}$ donde z es mayor que 0,5, fenómeno conocido como desaceleración crítica .

Aplicabilidad

Este método, por lo tanto, ignora la dinámica, lo que puede ser una desventaja importante o una gran ventaja. De hecho, solo se puede aplicar a cantidades estáticas, pero la libertad para elegir los movimientos lo hace muy flexible. Una ventaja adicional es que algunos sistemas, como el modelo de Ising , carecen de una descripción dinámica y solo se definen mediante una prescripción energética; para estos, el método de Monte Carlo es el único viable.

Generalizaciones

El gran éxito de este método en mecánica estadística ha dado lugar a diversas generalizaciones, como el método de recocido simulado para optimización, en el que se introduce una temperatura ficticia que luego se va reduciendo gradualmente.

Véase también

Referencias

Allen, MP y Tildesley, DJ (1987). Simulación por ordenador de líquidos . Oxford University Press. ISBN 0-19-855645-4.
Frenkel, D. y Smit, B. (2001). Comprensión de la simulación molecular . Academic Press. ISBN 0-12-267351-4.
Binder, K. y Heermann, DW (2002). Simulación de Monte Carlo en física estadística. Una introducción (4.ª ed.). Springer. ISBN 3-540-43221-3.
Spanier, Jerome; Gelbard, Ely M. (2008). «Muestreo de importancia». Principios de Monte Carlo y problemas de transporte de neutrones . Dover. págs. 110–124 . ISBN 978-0-486-46293-6.