Presentación de un monoide

En álgebra , una presentación de un monoide (o una presentación de un semigrupo ) es una descripción de un monoide (o un semigrupo ) en términos de un conjunto Σ de generadores y un conjunto de relaciones sobre el monoide libre Σ ^* (o el semigrupo libre Σ ⁺ ) generado por Σ . El monoide se presenta entonces como el cociente del monoide libre (o del semigrupo libre) por estas relaciones. Esto es análogo a una presentación de grupo en teoría de grupos .

Como estructura matemática, una representación de monoide es idéntica a un sistema de reescritura de cadenas (también conocido como sistema semi-Thue). Todo monoide puede ser representado por un sistema semi-Thue (posiblemente sobre un alfabeto infinito). ^{[ 1 ]}

Una presentación no debe confundirse con una representación .

Las relaciones se dan como una relación binaria (finita) R en Σ ^∗ . Para formar el monoide cociente, estas relaciones se extienden a congruencias de monoides de la siguiente manera:

Primero, se toma el cierre simétrico R ∪ R ^{− 1} de R. Esto se extiende luego a una relación simétrica E ⊂ Σ ^∗ × Σ ^∗ definiendo x ~ _E y si y solo si x = sut e y = svt para algunas cadenas u , v , s , t ∈ Σ ^∗ con ( u , v ) ∈ R ∪ R ^{− 1.} Finalmente, se toma el cierre reflexivo y transitivo de E , que entonces es una congruencia de monoide.

En la situación típica, la relación R se da simplemente como un conjunto de ecuaciones, de modo que${\displaystyle R=\{u_{1}=v_{1},\ldots,u_{n}=v_{n}\}}$. Así, por ejemplo,

${\displaystyle \langle p,q\,\vert \;pq=1\rangle }$

es la presentación ecuacional para el monoide bicíclico , y

${\displaystyle \langle a,b\,\vert \;aba=baa,bba=bab\rangle }$

es el monoide plástico de grado 2 (tiene orden infinito). Los elementos de este monoide plástico se pueden escribir como${\displaystyle a^{i}b^{j}(ba)^{k}}$para los enteros i , j , k , como muestran las relaciones, ba conmuta con a y b .

Las presentaciones de monoides inversos y semigrupos se pueden definir de manera similar utilizando un par

${\displaystyle (X;T)}$

dónde

${\displaystyle (X\cup X^{-1})^{*}}$

es el monoide libre con involución en${\displaystyle X}$, y

${\displaystyle T\subseteq (X\cup X^{-1})^{*}\times (X\cup X^{-1})^{*}}$

es una relación binaria entre palabras. La denotamos por${\displaystyle T^{\mathrm {e} }}$ (respectivamente${\displaystyle T^{\mathrm {c} }}$) la relación de equivalencia ( respectivamente, la congruencia ) generada por T.

Utilizamos este par de objetos para definir un monoide inverso.

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle .}$

Dejar${\displaystyle \rho _{X}}$sea ​​la congruencia de Wagner en${\displaystyle X}$, definimos el monoide inverso

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle }$

presentado por${\displaystyle (X;T)}$como

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle =(X\cup X^{-1})^{*}/(T\cup \rho _{X})^{\mathrm {c} }.}$

En la discusión anterior, si reemplazamos en todas partes${\displaystyle ({X\cup X^{-1}})^{*}}$con${\displaystyle ({X\cup X^{-1}})^{+}}$obtenemos una presentación (para un semigrupo inverso)${\displaystyle (X;T)}$y un semigrupo inverso${\displaystyle \mathrm {Inv} \langle X|T\rangle }$presentado por${\displaystyle (X;T)}$.

Un ejemplo trivial pero importante es el monoide inverso libre (o semigrupo inverso libre ) en${\displaystyle X}$, que generalmente se denota por${\displaystyle \mathrm {FIM} (X)}$(respectivamente${\displaystyle \mathrm {FIS} (X)}$) y se define por

${\displaystyle \mathrm {FIM} (X)=\mathrm {Inv} ^{1}\langle X|\varnothing \rangle =({X\cup X^{-1}})^{*}/\rho _{X},}$

o

${\displaystyle \mathrm {FIS} (X)=\mathrm {Inv} \langle X|\varnothing \rangle =({X\cup X^{-1}})^{+}/\rho _{X}.}$

• John M. Howie, Fundamentos de la teoría de semigrupos (1995), Clarendon Press, Oxford ISBN 0-19-851194-9
• M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a gráficos y productos de coronas , Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
• Ronald V. Book y Friedrich Otto, Sistemas de reescritura de cadenas , Springer, 1993, ISBN 0-387-97965-4, capítulo 7, "Propiedades algebraicas"