transformador monad

Dado cualquier mónada${\displaystyle \mathrm {M} \,A}$, el transformador de mónada de opciones${\displaystyle \mathrm {M} \left(A^{?}\right)}$(dónde${\displaystyle A^{?}}$denota el tipo de opción ) se define por:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {return}$ :&A\rightarrow \mathrm {M} \left(A^{?}\right)\\&a\mapsto \mathrm {return} (\mathrm {Just} \,a)\\\mathrm {bind}  :&\mathrm {M} \left(A^{?}\right)\rightarrow \left(A\rightarrow \mathrm {M} \left(B^{?}\right)\right)\rightarrow \mathrm {M} \left(B^{?}\right)\\&m\mapsto f\mapsto \mathrm {bind} \,m\,\left(a\mapsto {\begin{cases}{\mbox{devolver nada}}&{\mbox{if }}a=\mathrm {Nada} \\f\,a'&{\mbox{if }}a=\mathrm {Sólo} \,a'\end{cases}}\right)\\\mathrm {lift}  :&\mathrm {M} (A)\rightarrow \mathrm {M} \left(A^{?}\right)\\&m\mapsto \mathrm {bind} \,m\,(a\mapsto \mathrm {return} (\mathrm {Just} \,a))\end{array}}}

Dado cualquier mónada${\displaystyle \mathrm {M} \,A}$, el transformador de mónadas de excepción${\displaystyle \mathrm {M} (A+E)}$(donde E es el tipo de excepciones) se define por:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {return}$ :&A\rightarrow \mathrm {M} (A+E)\\&a\mapsto \mathrm {return} (\mathrm {valor} \,a)\\\mathrm {bind}  :&\mathrm {M} (A+E)\rightarrow (A\rightarrow \mathrm {M} (B+E))\rightarrow \mathrm {M} (B+E)\\&m\mapsto f\mapsto \mathrm {bind} \,m\,\left(a\mapsto {\begin{cases}{\mbox{return err }}e&{\mbox{if }}a=\mathrm {err} \,e\\f\,a'&{\mbox{if }}a=\mathrm {value} \,a'\end{cases}}\right)\\\mathrm {lift}  :&\mathrm {M} \,A\rightarrow \mathrm {M} (A+E)\\&m\mapsto \mathrm {bind} \,m\,(a\mapsto \mathrm {return} (\mathrm {valor} \,a))\\\end{array}}}

Dado cualquier mónada${\displaystyle \mathrm {M} \,A}$, el transformador de mónadas del lector${\displaystyle E\rightarrow \mathrm {M} \,A}$(donde E es el tipo de entorno) se define por:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {return}$ :&A\rightarrow E\rightarrow \mathrm {M} \,A\\&a\mapsto e\mapsto \mathrm {return} \,a\\\mathrm {bind}  :&(E\rightarrow \mathrm {M} \,A)\rightarrow (A\rightarrow E\rightarrow \mathrm {M} \,B)\rightarrow E\rightarrow \mathrm {M} \,B\\&m\mapsto k\mapsto e\mapsto \mathrm {bind} \,(m\,e)\,(a\mapsto k\,a\,e)\\\mathrm {lift}  :&\mathrm {M} \,A\rightarrow E\rightarrow \mathrm {M} \,A\\&a\mapsto e\mapsto a\\\end{array}}}

Dado cualquier mónada${\displaystyle \mathrm {M} \,A}$, el transformador de mónada de estado${\displaystyle S\rightarrow \mathrm {M} (A\times S)}$(donde S es el tipo de estado) se define por:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {return}$ :&A\rightarrow S\rightarrow \mathrm {M} (A\times S)\\&a\mapsto s\mapsto \mathrm {return} \,(a,s)\\\mathrm {bind}  :&(S\rightarrow \mathrm {M} (A\times S))\rightarrow (A\rightarrow S\rightarrow \mathrm {M} (B\times S))\rightarrow S\rightarrow \mathrm {M} (B\times S)\\&m\mapsto k\mapsto s\mapsto \mathrm {bind} \,(m\,s)\,((a,s')\mapsto k\,a\,s')\\\mathrm {levantar}  :&\mathrm {M} \,A\rightarrow S\rightarrow \mathrm {M} (A\times S)\\&m\mapasto s\mapsto \mathrm {bind} \,m\,(a\mapsto \mathrm {return} \,(a,s))\end{array}}}

Dado cualquier mónada${\displaystyle \mathrm {M} \,A}$, el escritor transformador de mónadas${\displaystyle \mathrm {M} (W\times A)}$(donde W está dotado de una operación monoide ∗ con elemento identidad${\displaystyle \varepsilon }$) se define por:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {return}$ :&A\rightarrow \mathrm {M} (W\times A)\\&a\mapsto \mathrm {return} \,(\varepsilon ,a)\\\mathrm {bind}  :&\mathrm {M} (W\times A)\rightarrow (A\rightarrow \mathrm {M} (W\times B))\rightarrow \mathrm {M} (W\times B)\\&m\mapsto f\mapsto \mathrm {bind} \,m\,((w,a)\mapsto \mathrm {bind} \,(f\,a)\,((w',b)\mapsto \mathrm {return} \,(w*w',b)))\\\mathrm {lift}  :&\mathrm {M} \,A\rightarrow \mathrm {M} (W\veces A)\\&m\mapsto \mathrm {bind} \,m\,(a\mapsto \mathrm {return} \,(\varepsilon ,a))\\\end{array}}}

Dado cualquier mónada${\displaystyle \mathrm {M} \,A}$, el transformador de mónada de continuación asigna un tipo arbitrario R a funciones de tipo${\displaystyle (A\rightarrow \mathrm {M} \,R)\rightarrow \mathrm {M} \,R}$donde R es el tipo de resultado de la continuación. Se define por:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {return} \colon &A\rightarrow \left(A\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \mathrm {M} \,R\\&a\mapsto k\mapsto k\,a\\\mathrm {bind} \colon &\left(\left(A\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \left(A\rightarrow \left(B\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \left(B\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \mathrm {M} \,R\\&c\mapsto f\mapsto k\mapsto c\,\left(a\mapsto f\,a\,k\right)\\\mathrm {lift} \colon &\mathrm {M} \,A\rightarrow (A\rightarrow \mathrm {M} \,R)\rightarrow \mathrm {M} \,R\\&\mathrm {bind} \end{array}}}$

Tenga en cuenta que las transformaciones de mónadas generalmente no son conmutativas : por ejemplo, aplicar el transformador de estado a la mónada de opción produce un tipo${\displaystyle S\rightarrow \left(A\times S\right)^{?}}$(un cálculo que puede fallar y no producir ningún estado final), mientras que la transformación inversa tiene tipo${\displaystyle S\rightarrow \left(A^{?}\times S\right)}$(un cálculo que produce un estado final y un valor de retorno opcional).