Modos de variación

Si un vector aleatorio${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{p})^{T}}$tiene el vector medio${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{p}}$y la matriz de covarianza${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{p\times p}}$con valores propios${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{p}\geq 0}$y los correspondientes autovectores ortonormales${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\cdots,\mathbf {e} _{p}}$, mediante la descomposición en valores propios de una matriz simétrica real , la matriz de covarianza${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$puede descomponerse como

${\displaystyle \mathbf {\Sigma } =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{T},}$

dónde${\displaystyle \mathbf {Q} }$es una matriz ortogonal cuyas columnas son los vectores propios de${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$, y${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$es una matriz diagonal cuyas entradas son los valores propios de${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$. Mediante la expansión de Karhunen-Loève para vectores aleatorios, se puede expresar el vector aleatorio centrado en la base propia.

${\displaystyle \mathbf {X} -{\boldsymbol {\mu }}=\sum _{k=1}^{p}\xi _{k}\mathbf {e} _{k},}$

dónde${\displaystyle \xi _{k}=\mathbf {e} _{k}^{T}(\mathbf {X} -{\boldsymbol {\mu }})}$es el componente principal ^{[ 3 ]} asociado con el${\displaystyle k}$-ésimo vector propio${\displaystyle \mathbf {e} _ {k}}$, con las propiedades

${\displaystyle \operatorname {E} (\xi _{k})=0,\operatorname {Var} (\xi _{k})=\lambda _{k},}$y${\displaystyle \operatorname {E} (\xi _{k}\xi _{l})=0\ {\text{para}}\ l\neq k.}$

Entonces el${\displaystyle k}$-ésimo modo de variación de${\displaystyle \mathbf {X} }$es el conjunto de vectores, indexados por${\displaystyle \alpha }$,

${\displaystyle \mathbf {m} _{k,\alpha }={\boldsymbol {\mu }}\pm \alpha {\sqrt {\lambda _{k}}}\mathbf {e} _{k},\alpha \in [-A,A],}$

dónde${\displaystyle A}$se selecciona típicamente como${\displaystyle 2\ {\text{o}}\ 3}$.

Para una función aleatoria de cuadrado integrable${\displaystyle X(t),t\in {\mathcal {T}}\subset R^{p}}$donde normalmente${\displaystyle p=1}$y${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es un intervalo, denotemos la función media por${\displaystyle \mu (t)=\operatorname {E} (X(t))}$y la función de covarianza por

${\displaystyle G(s,t)=\operatorname {Cov} (X(s),X(t))=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}\varphi _{k}(s)\varphi _{k}(t),}$

dónde${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq 0}$son los valores propios y${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots \}}$son las autofunciones ortonormales del operador lineal de Hilbert-Schmidt

${\displaystyle G:L^{2}({\mathcal {T}})\rightarrow L^{2}({\mathcal {T}}),\,G(f)=\int _{\mathcal {T}}G(s,t)f(s)ds.}$

Según el teorema de Karhunen-Loève , se puede expresar la función centrada en la base propia,

${\displaystyle X(t)-\mu (t)=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}\varphi _{k}(t),}$

dónde

${\displaystyle \xi _{k}=\int _{\mathcal {T}}(X(t)-\mu (t))\varphi _{k}(t)dt}$

es el${\displaystyle k}$-ésimo componente principal con las propiedades

${\displaystyle \operatorname {E} (\xi _{k})=0,\operatorname {Var} (\xi _{k})=\lambda _{k},}$y${\displaystyle \operatorname {E} (\xi _{k}\xi _{l})=0{\text{ para }}l\neq k.}$

Entonces el${\displaystyle k}$-ésimo modo de variación de${\displaystyle X(t)}$es el conjunto de funciones, indexadas por${\displaystyle \alpha }$,

${\displaystyle m_{k,\alpha }(t)=\mu (t)\pm \alpha {\sqrt {\lambda _{k}}}\varphi _{k}(t),\ t\in {\mathcal {T}},\ \alpha \in [-A,A]}$

que se visualizan simultáneamente en el rango de${\displaystyle \alpha }$, generalmente para${\displaystyle A=2\ {\text{o}}\ 3}$. ^{[ 2 ]}

Supongamos que los datos${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\cdots ,\mathbf {x} _{n}}$representar${\displaystyle n}$dibujos independientes de algunos${\displaystyle p}$población dimensional${\displaystyle \mathbf {X} }$con vector medio${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$y matriz de covarianza${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$Estos datos producen el vector de medias de la muestra.${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}}$y la matriz de covarianza de la muestra${\displaystyle \mathbf {S} }$con pares de autovalores y autovectores${\displaystyle ({\hat {\lambda }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{1}),({\hat {\lambda }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{2}),\cdots ,({\hat {\lambda }}_{p},{\hat {\mathbf {e} }}_{p})}$. Entonces el${\displaystyle k}$-ésimo modo de variación de${\displaystyle \mathbf {X} }$puede ser estimado por

${\displaystyle {\hat {\mathbf {m} }}_{k,\alpha }={\overline {\mathbf {x} }}\pm \alpha {\sqrt {{\hat {\lambda }}_{k}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{k},\alpha \in [-A,A].}$

Considerar${\displaystyle n}$realizaciones${\displaystyle X_{1}(t),X_{2}(t),\cdots ,X_{n}(t)}$de una función aleatoria de cuadrado integrable${\displaystyle X(t),t\in {\mathcal {T}}}$con la función media${\displaystyle \mu (t)=\operatorname {E} (X(t))}$y la función de covarianza${\displaystyle G(s,t)=\operatorname {Cov} (X(s),X(t))}$El análisis de componentes principales funcionales proporciona métodos para la estimación de${\displaystyle \mu (t)}$y${\displaystyle G(s,t)}$en detalle, a menudo implicando estimación e interpolación punto por punto . Sustituyendo estimaciones por las cantidades desconocidas,${\displaystyle k}$-ésimo modo de variación de${\displaystyle X(t)}$puede ser estimado por

${\displaystyle {\hat {m}}_{k,\alpha }(t)={\hat {\mu }}(t)\pm \alpha {\sqrt {{\hat {\lambda }}_{k}}}{\hat {\varphi }}_{k}(t),t\in {\mathcal {T}},\alpha \in [-A,A].}$