Desorientación

En la ciencia de los materiales , la desorientación es la diferencia en la orientación cristalográfica entre dos cristalitos en un material policristalino.

En los materiales cristalinos, la orientación de un cristalito se define mediante una transformación desde un marco de referencia de muestra (es decir, definido por la dirección de un proceso de laminación o extrusión y dos direcciones ortogonales ) al marco de referencia local de la red cristalina , tal como se define por la base de la celda unitaria . De la misma manera, la desorientación es la transformación necesaria para pasar de un marco cristalino local a algún otro marco cristalino. Es decir, es la distancia en el espacio de orientación entre dos orientaciones distintas. Si las orientaciones se especifican en términos de matrices de cosenos directores g _A y g _B , entonces el operador de desorientación ∆ g _AB que va de A a B se puede definir de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}&g_{B}=\Delta g_{AB}g_{A}\\&\Delta g_{AB}=g_{B}g_{A}^{-1}\end{aligned}}}$

donde el término ⁠ ⁠$estilo de visualización g_{A}^{-1}}$ es la operación inversa de g _A , es decir, la transformación desde el marco cristalino A de nuevo al marco de muestra. Esto proporciona una descripción alternativa de la desorientación como la operación sucesiva de transformación desde el primer marco cristalino ( A ) de nuevo al marco de muestra y posteriormente al nuevo marco cristalino ( B ).

Se pueden utilizar varios métodos para representar esta operación de transformación, como: ángulos de Euler , vectores de Rodrigues, eje/ángulo (donde el eje se especifica como una dirección cristalográfica) o cuaterniones unitarios .

El efecto de la simetría de los cristales sobre las desorientaciones es reducir la fracción del espacio de orientación total necesario para representar de forma única todas las posibles relaciones de desorientación. Por ejemplo, los cristales cúbicos (es decir, los FCC) tienen 24 orientaciones relacionadas simétricamente. Cada una de estas orientaciones es físicamente indistinguible, aunque matemáticamente distinta. Por lo tanto, el tamaño del espacio de orientación se reduce en un factor de 24. Esto define la zona fundamental (FZ) para las simetrías cúbicas. Para la desorientación entre dos cristalitos cúbicos, cada uno posee sus 24 simetrías inherentes. Además, existe una simetría de conmutación, definida por:

${\displaystyle \Delta g_{AB}=\Delta g_{BA}}$

que reconoce la invariancia de la desorientación con respecto a la dirección; A→B o B→A. La fracción del espacio de orientación total en la zona fundamental cúbico-cúbica para la desorientación viene dada por:

${\displaystyle {\frac {1}{24\cdot 24\cdot 2}}={\frac {1}{1152}}}$

o 1/48 del volumen de la zona fundamental cúbica. Esto también tiene el efecto de limitar el ángulo máximo de desorientación único a 62,8°

La desorientación describe la desorientación con el ángulo de rotación más pequeño posible de todas las desorientaciones simétricamente equivalentes que caen dentro de la FZ (generalmente especificada como que tiene un eje en el triángulo estereográfico estándar para cúbicos). El cálculo de estas variantes implica la aplicación de operadores de simetría cristalina a cada una de las orientaciones durante el cálculo de la desorientación. donde O ^crys denota uno de los operadores de simetría para el material.
${\displaystyle \Delta g_{AB}=O_{B}^{crys}g_{B}(O_{A}^{crys}g_{A})^{-1}}$

La distribución de desorientación (MD) es análoga a la ODF utilizada para caracterizar la textura. La MD describe la probabilidad de desorientación entre dos granos cualesquiera que se encuentren dentro de un rango en torno a una desorientación dada . Si bien es similar a una densidad de probabilidad, la MD no es matemáticamente la misma debido a la normalización. La intensidad en una MD se da como "múltiplos de densidad aleatoria" (MRD) con respecto a la distribución esperada en un material con desorientaciones distribuidas uniformemente. La MD se puede calcular mediante expansión en serie, generalmente utilizando armónicos esféricos generalizados , o mediante un esquema de binning discreto, donde cada punto de datos se asigna a un bin y se acumula. ${\displaystyle d\Delta g}$${\displaystyle \Delta g}$

Las desorientaciones discretas o la distribución de desorientación se pueden describir completamente como gráficos en el ángulo de Euler, eje/ángulo o espacio vectorial de Rodrigues. Los cuaterniones unitarios, si bien son computacionalmente convenientes, no se prestan a la representación gráfica debido a su naturaleza cuatridimensional. Para cualquiera de las representaciones, los gráficos se construyen generalmente como secciones a través de la zona fundamental; a lo largo de φ ₂ en ángulos de Euler, en incrementos del ángulo de rotación para eje/ángulo y en ρ ₃ constante (paralelo a <001>) para Rodrigues. Debido a la forma irregular de la zona fundamental cúbica-cúbica, los gráficos se dan típicamente como secciones a través de la zona fundamental cúbica con los límites más restrictivos superpuestos.

Los gráficos de Mackenzie son una representación unidimensional de la MD que traza la frecuencia relativa del ángulo de desorientación, independientemente del eje. Mackenzie determinó la distribución de desorientación para una muestra cúbica con una textura aleatoria.

El siguiente es un ejemplo del algoritmo para determinar la representación del eje/ángulo de la desorientación entre dos componentes de textura dados como ángulos de Euler :

Cobre [90,35,45]

S3 [59,37,63]

El primer paso es convertir la representación del ángulo de Euler en una${\displaystyle [\phi _{1},\Phi ,\phi _{2}],}$ matriz de orientación g mediante:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{\phi _{1}}c_{\phi _{2}}-s_{\phi _{1}}s_{\phi _{2}}c_{\Phi }&s_{\phi _{1}}c_{\phi _{2}}+c_{\phi _{1}}s_{\phi _{2}}c_{\Phi }&s_{\phi _{2 }}s_{\Phi }\\-c_{\phi _{1}}s_{\phi _{2}}-s_{\phi _{1}}c_{\phi _{2}}c_{\ Phi }&-s_{\phi _{1}}s_{\phi _{2}}+c_{\phi _{1}}c_{\phi _{2}}c_{\Phi }&c_{\phi _{2}}s_{\Phi}\\s_{\phi _{1}}s_{\Phi}&-c_{\Phi} _{1}}s_{\Phi}&c_{\Phi}\end{bmatrix}}}$

donde ⁠ ⁠$Estilo de visualización c_{n}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle s_{n}}$ representan ⁠ ⁠${\estilo de visualización \cos }$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \pecado}$ del componente de Euler respectivo. Esto produce las siguientes matrices de orientación:

${\displaystyle g_{cobre}={\begin{bmatrix}-0,579&0,707&0,406\\-0,579&-0,707&0,406\\0,574&0&0,819\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle g_{S3}={\begin{bmatrix}-0,376&0,756&0,536\\-0,770&-0,577&0,273\\0,516&-0,310&0,799\\\end{bmatrix}}}$

La desorientación es entonces:

${\displaystyle \Delta g_{AB}=g_{cobre}g_{S3}^{-1}={\begin{bmatrix}0,970&0,149&-0,194\\-0,099&0,965&0,244\\0,224&-0,218&0,950\\\end{bmatrix}}}$

La descripción del eje/ángulo (con el eje como vector unitario) está relacionada con la matriz de desorientación mediante:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \Theta ={\frac {g_{11}+g_{22}+g_{33}-1}{2}}\\&r_{1}={\frac {g_{23}-g_{32}}{2\sin \Theta }}\\&r_{2}={\frac {g_{31}-g_{13}}{2\sin \Theta }}\\&r_{3}={\frac {g_{12}-g_{21}}{2\sin \Theta }}\end{aligned}}}$

(Hay errores en las fórmulas similares para los componentes de 'r' dadas en el libro de Randle y Engler (ver referencias), que se corregirán en la próxima edición de su libro. Las anteriores son las versiones correctas, tenga en cuenta que se debe utilizar una forma diferente para estas ecuaciones si Θ = 180 grados).

Para la desorientación del cobre—S _{3 dada por} Δ g _AB , la descripción del eje/ángulo es 19,5° aproximadamente [0,689, 0,623, 0,369], que es solo 2,3° de <221>. Este resultado es solo una de las 1152 posibilidades relacionadas simétricamente, pero especifica la desorientación. Esto se puede verificar considerando todas las combinaciones posibles de simetría de orientación (incluida la simetría de conmutación).

• Kocks, UF, CN Tomé y H.-R. Wenk (1998). Textura y anisotropía: orientaciones preferidas en policristales y su efecto en las propiedades de los materiales , Cambridge University Press.
• Mackenzie, JK (1958). Segundo artículo sobre las estadísticas asociadas con la desorientación aleatoria de los cubos , Biometrika 45 , 229.
• Randle, Valerie y Olaf Engler (2000). Introducción al análisis de texturas: macrotextura, microtextura y mapeo de orientación , CRC Press.
• Reed-Hill, Robert E. y Reza Abbaschian (1994). Principios de metalurgia física (tercera edición) , PWS.
• Sutton, AP y RW Balluffi (1995). Interfaces en materiales cristalinos , Clarendon Press.
• G. Zhu, W. Mao y Y. Yu (1997). "Cálculo de la distribución de la desorientación entre granos recristalizados y matriz deformada", Scripta mater. 42(2000) 37-41.