adición de Minkowski

En matemáticas , el conjunto suma de dos subconjuntos A y B de un grupo abeliano (aditivo) se forma sumando cada elemento de A a cada elemento de B : $${\displaystyle A+B=\{a+b\mid a\in A,\ b\in B\}.}$$

En geometría , la suma de Minkowski de dos subconjuntos A y B de un espacio euclidiano es el conjunto de puntos cuyos vectores de posición forman la suma de los vectores de posición de A y B. La suma de Minkowski depende de la elección de un origen en el espacio euclidiano. Dado que un cambio de origen equivale a trasladar la suma de Minkowski, esta se define salvo por una traslación, y su forma y orientación están bien definidas.

La diferencia de Minkowski (también resta de Minkowski , descomposición de Minkowski o diferencia geométrica ) ^{[ 1 ]} es la inversa correspondiente, donde${\textstyle (AB)}$produce un conjunto que podría sumarse con B para recuperar A. Esto se define como el complemento de la suma de Minkowski del complemento de A con la reflexión de B respecto al origen. ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}-B&=\{\mathbf {-b} \,|\,\mathbf {b} \in B\}\\AB&=(A^{\complemento }+(-B))^{\complemento }\end{aligned}}}$$

Esta definición permite una relación simétrica entre la suma y la diferencia de Minkowski. Cabe señalar que tomar alternativamente la suma y la diferencia con B no es necesariamente equivalente. La suma puede llenar huecos que la diferencia no puede reabrir, y la diferencia puede borrar pequeñas islas que la suma no puede recrear desde cero.

$${\displaystyle {\begin{aligned}(AB)+B&\subseteq A\\(A+B)-B&\supseteq A\\AB&=(A^{\complemento }+(-B))^{\complemento }\\A+B&=(A^{\complemento }-(-B))^{\complemento }\\\end{aligned}}}$$

En el procesamiento de imágenes 2D, la suma y la diferencia de Minkowski se conocen como dilatación y erosión .

En ocasiones, se utiliza una definición alternativa de la diferencia de Minkowski para calcular la intersección de figuras convexas. ^{[ 3 ]} Esta definición no es equivalente a la anterior ni es la inversa de la suma. En cambio, reemplaza la suma vectorial de la suma de Minkowski por una resta vectorial . Si las dos figuras convexas se intersecan, el conjunto resultante contendrá el origen.

$${\displaystyle AB=\{\mathbf {a} -\mathbf {b} \,|\,\mathbf {a} \in A,\ \mathbf {b} \in B\}=A+(-B)}$$

El concepto recibe su nombre de Hermann Minkowski .

Por ejemplo, si tenemos dos conjuntos A y B , cada uno compuesto por tres vectores de posición (informalmente, tres puntos), que representan los vértices de dos triángulos en${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$, con coordenadas

$${\displaystyle A=\{(1,0),(0,1),(0,-1)\}}$$

y

$${\displaystyle B=\{(0,0),(1,1),(1,-1)\}}$$

entonces su suma de Minkowski es

$${\displaystyle A+B=\{(1,0),(2,1),(2,-1),(0,1),(1,2),(1,0),(0,-1),(1,0),(1,-2)\},}$$

que comprende los vértices de un hexágono y su centro.

Para la suma de Minkowski, el conjunto cero ,${\textstyle \{0\},}$que contiene solo el vector cero , 0, es un elemento identidad : para cada subconjunto S de un espacio vectorial,

$${\displaystyle S+\{0\}=S.}$$

El conjunto vacío es importante en la suma de Minkowski, porque el conjunto vacío aniquila a cualquier otro subconjunto: para cada subconjunto S de un espacio vectorial, su suma con el conjunto vacío es vacía:

$${\displaystyle S+\emptyset =\emptyset .}$$

Como otro ejemplo, consideremos las sumas de Minkowski de bolas abiertas o cerradas en el campo.${\textstyle \mathbb {K} ,}$que son los números reales${\textstyle \mathbb {R} }$o números complejos${\textstyle \mathbb {C} }$. Si${\textstyle B_{r}:=\{s\in \mathbb {K}$ :|s|\leq r\}} es la bola cerrada de radio${\textstyle r\in [0,\infty ]}$centrado en${\textstyle 0}$en${\textstyle \mathbb {K} }$entonces para cualquier${\textstyle r,s\in [0,\infty ]}$,${\textstyle B_{r}+B_{s}=B_{r+s}}$y también${\textstyle cB_{r}=B_{|c|r}}$será válido para cualquier escalar${\textstyle c\in \mathbb {K} }$de tal manera que el producto${\textstyle |c|r}$se define (lo que ocurre cuando${\textstyle c\neq 0}$o${\textstyle r\neq \infty }$). Si${\textstyle r}$,${\textstyle s}$, y${\textstyle c}$si todos son distintos de cero, entonces las mismas igualdades seguirían siendo válidas.${\textstyle B_{r}}$Se ha definido como la bola abierta, en lugar de la bola cerrada, centrada en 0 (la suposición de que no es cero es necesaria porque la bola abierta de radio 0 es el conjunto vacío). La suma de Minkowski de una bola cerrada y una bola abierta es una bola abierta. De forma más general, la suma de Minkowski de un subconjunto abierto con cualquier otro conjunto será un subconjunto abierto.

Si${\textstyle G=\{(x,1/x):0\neq x\in \mathbb {R} \}}$es la gráfica de${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$y si y${\textstyle Y=\{0\}\times \mathbb {R} }$es el${\textstyle y}$eje en${\textstyle X=\mathbb {R} ^{2}}$entonces la suma de Minkowski de estos dos subconjuntos cerrados del plano es el conjunto abierto${\textstyle G+Y=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x\neq 0\}=\mathbb {R} ^{2}\setminus Y}$que consiste en todo lo que no sea el${\textstyle y}$-eje. Esto muestra que la suma de Minkowski de dos conjuntos cerrados no es necesariamente un conjunto cerrado. Sin embargo, la suma de Minkowski de dos subconjuntos cerrados será un subconjunto cerrado si al menos uno de estos conjuntos es también un subconjunto compacto .

La suma de Minkowski se comporta bien con respecto a la operación de tomar envolventes convexas , como lo demuestra la siguiente proposición:

Para todos los subconjuntos no vacíos${\textstyle S_{1}}$y${\textstyle S_{2}}$En un espacio vectorial real, la envoltura convexa de su suma de Minkowski es la suma de Minkowski de sus envolturas convexas: $${\displaystyle \operatorname {Conv} (S_{1}+S_{2})=\operatorname {Conv} (S_{1})+\operatorname {Conv} (S_{2}).}$$

Este resultado es válido de forma más general para cualquier colección finita de conjuntos no vacíos:

$${\displaystyle \operatorname {Conv} \left(\sum {S_{n}}\right)=\sum \operatorname {Conv} (S_{n}).}$$

En terminología matemática, las operaciones de suma de Minkowski y de formación de envolventes convexas son operaciones conmutativas . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Si${\textstyle S}$es un conjunto convexo entonces${\displaystyle \mu S+\lambda S}$es también un conjunto convexo; además

$${\displaystyle \mu S+\lambda S=(\mu +\lambda )S}$$

por cada${\textstyle \mu ,\lambda \geq 0}$. Por el contrario, si esta " propiedad distributiva " se cumple para todos los números reales no negativos,${\textstyle \mu }$y${\textstyle \lambda }$, entonces el conjunto es convexo. ^{[ 6 ]}

La figura de la derecha muestra un ejemplo de un conjunto no convexo para el cual${\textstyle 2A\subsetneq A+A.}$

Un ejemplo en una dimensión es:${\textstyle B=[1,2]\cup [4,5].}$Se puede calcular fácilmente que${\textstyle 2B=[2,4]\cup [8,10]}$pero${\textstyle B+B=[2,4]\cup [5,7]\cup [8,10],}$por lo tanto nuevamente${\textstyle 2B\subsetneq B+B.}$

Las sumas de Minkowski actúan linealmente sobre el perímetro de cuerpos convexos bidimensionales: el perímetro de la suma es igual a la suma de los perímetros. Además, si${\textstyle K}$es (el interior de) una curva de ancho constante , entonces la suma de Minkowski de${\textstyle K}$y su rotación de 180° es un disco. Estos dos hechos se pueden combinar para dar una demostración breve del teorema de Barbier sobre el perímetro de curvas de ancho constante. ^{[ 7 ]}

La suma de Minkowski desempeña un papel fundamental en la morfología matemática . Surge en el paradigma de pincel y trazo de los gráficos por computadora 2D (con diversos usos, en particular por Donald E. Knuth en Metafont ), y como la operación de barrido sólido de los gráficos por computadora 3D . También se ha demostrado que está estrechamente relacionada con la distancia del transportador de tierra y, por extensión, con el transporte óptimo . ^{[ 8 ]}

También existe la noción de la suma de Minkowski esencial + _e de dos subconjuntos del espacio euclidiano. La suma de Minkowski usual se puede escribir como

$${\displaystyle A+B=\left\{z\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,A\cap (z-B)\neq \emptyset \right\}.}$$

Por lo tanto, la suma esencial de Minkowski se define por

$${\displaystyle A+_{\mathrm {e} }B=\left\{z\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,\mu \left[A\cap (z-B)\right]>0\right\},}$$

donde μ denota la medida de Lebesgue n- dimensional . La razón del término "esencial" es la siguiente propiedad de las funciones indicadoras : mientras que

$${\displaystyle 1_{A\,+\,B}(z)=\sup _{x\,\in \,\mathbb {R} ^{n}}1_{A}(x)1_{B}(z-x),}$$

se puede observar que

$${\displaystyle 1_{A\,+_{\mathrm {e} }\,B}(z)=\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{x\,\in \,\mathbb {R} ^{n}}1_{A}(x)1_{B}(z-x),}$$

donde "ess sup" denota el supremo esencial .

Para subconjuntos convexos compactos K y L en${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$La suma de Minkowski se puede describir mediante la función de soporte de los conjuntos convexos:

$${\displaystyle h_{K+L}=h_{K}+h_{L}.}$$

Para p ≥ 1, Firey ^{[ 11 ]} definió la suma de Minkowski L ^p K + _p L de conjuntos convexos compactos K y L en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$que contiene el origen como

$${\displaystyle h_{K+_{p}L}^{p}=h_{K}^{p}+h_{L}^{p}.}$$

Según la desigualdad de Minkowski , la función h _{K+ p L} es nuevamente homogénea positiva y convexa, y por lo tanto, es la función de soporte de un conjunto convexo compacto. Esta definición es fundamental en la teoría de Brunn-Minkowski L ^{p .}

• Suma de Blaschke : politopo que combina dos politopos más pequeños. 
• Teorema de Brunn-Minkowski : Teorema en geometría , una desigualdad sobre los volúmenes de las sumas de Minkowski. 
• Convolución : Integral que expresa la cantidad de superposición de una función al desplazarse sobre otra. 
• Dilatación : operación en morfología matemática 
• Erosión : operación básica en morfología matemática. 
• Aritmética de intervalos : método para acotar los errores de los cálculos numéricos. 
• Volumen mixto (también conocido como integral de Quermass o volumen intrínseco )
• Curva paralela : generalización del concepto de líneas paralelas 
• Lema de Shapley-Folkman : Las sumas de conjuntos de vectores son casi convexas. 
• Sumset – Conjunto de sumas por pares de elementos de dos conjuntos 
• Espacio vectorial topológico#Propiedades – Espacio vectorial con noción de proximidad 
• Zonotopo – Suma de segmentos de línea de Minkowski 

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• Wikibooks: Manual de usuario de OpenSCAD/Transformaciones#minkowski por Marius Kintel: Aplicación
• Aplicación de la suma de Minkowski a la robótica por Joan Gerard
• Demostración de la aditividad de Minkowski, la monotonicidad convexa y otras propiedades de la distancia de Earth Movers.