Teoría fuertemente minimalista

En la teoría de modelos —una rama de la lógica matemática— una estructura mínima es una estructura infinita de orden uno tal que cada subconjunto de su dominio definible con parámetros es finito o cofinito . Una teoría fuertemente mínima es una teoría completa cuyos modelos son todos mínimos. Una estructura fuertemente mínima es una estructura cuya teoría es fuertemente mínima.

Así, una estructura es mínima solo si los subconjuntos paramétricamente definibles de su dominio son inevitables, ya que son paramétricamente definibles en el lenguaje puro de la igualdad. La minimalidad fuerte fue una de las primeras nociones en el nuevo campo de la teoría de la clasificación y la teoría de la estabilidad, que surgió a raíz del teorema de Morley sobre estructuras totalmente categóricas .

Los ejemplos estándar no triviales de teorías fuertemente mínimas son las teorías de un solo orden de espacios vectoriales de dimensión infinita y las teorías ACF _p de cuerpos algebraicamente cerrados de característica p . Como muestra el ejemplo ACF _p , los subconjuntos definibles paramétricamente del cuadrado del dominio de una estructura mínima pueden ser relativamente complicados (" curvas ").

En términos más generales, un subconjunto de una estructura definida como el conjunto de realizaciones de una fórmula φ ( x ) se denomina conjunto minimal si todo subconjunto paramétricamente definible del mismo es finito o cofinito. Se denomina conjunto fuertemente minimal si esto se cumple incluso en todas las extensiones elementales .

Un conjunto fuertemente minimal, dotado del operador de clausura dado por la clausura algebraica en el sentido de la teoría de modelos, es un matroide infinito, o pregeometría . Un modelo de una teoría fuertemente minimal está determinado, salvo isomorfismo, por su dimensión como matroide. Las teorías totalmente categóricas están controladas por un conjunto fuertemente minimal; este hecho explica (y se utiliza en la demostración de) el teorema de Morley. Boris Zilber conjeturó que las únicas pregeometrías que pueden surgir de conjuntos fuertemente minimales son aquellas que surgen en espacios vectoriales, espacios proyectivos o cuerpos algebraicamente cerrados. Esta conjetura fue refutada por Ehud Hrushovski , quien desarrolló un método conocido como "construcción de Hrushovski" para construir nuevas estructuras fuertemente minimales a partir de estructuras finitas.

• Teoría C-minimalista
• teoría o-mínima

• Baldwin, John T.; Lachlan, Alistair H. (1971), "Sobre conjuntos fuertemente minimales", The Journal of Symbolic Logic , 36 (1), The Journal of Symbolic Logic, vol. 36, n.º 1: 79–96 , doi : 10.2307/2271517 , JSTOR 2271517 
• Hrushovski, Ehud (1993), "Un nuevo conjunto fuertemente minimal", Annals of Pure and Applied Logic , 62 (2): 147, doi : 10.1016/0168-0072(93)90171-9