Algoritmo de recurrencia de Miller

El algoritmo de recurrencia de Miller es un procedimiento para el cálculo inverso de una solución rápidamente decreciente de una relación de recurrencia de tres términos , desarrollado por JCP Miller . ^{[ 1 ]} Originalmente se desarrolló para calcular tablas de la función de Bessel modificada ^{[ 2 ]} , pero también se aplica a funciones de Bessel de primera especie y tiene otras aplicaciones, como el cálculo de los coeficientes de las expansiones de Chebyshev de otras funciones especiales . ^{[ 3 ]}

Muchas familias de funciones especiales satisfacen una relación de recurrencia que relaciona los valores de las funciones de diferentes órdenes con un argumento común.${\displaystyle x}$.

Las funciones de Bessel modificadas de primera especie${\displaystyle I_{n}(x)}$satisfacer la relación de recurrencia

${\displaystyle I_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}I_{n}(x)+I_{n+1}(x)}$.

Sin embargo, las funciones de Bessel modificadas de segundo tipo${\displaystyle K_{n}(x)}$también satisfacen la misma relación de recurrencia

${\displaystyle K_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}K_{n}(x)+K_{n+1}(x)}$.

La primera solución disminuye rápidamente con${\displaystyle n}$La segunda solución aumenta rápidamente con${\displaystyle n}$El algoritmo de Miller proporciona un procedimiento numéricamente estable para obtener la solución decreciente.

Para calcular los términos de una recurrencia${\displaystyle a_{0}}$a través de${\displaystyle a_{N}}$Según el algoritmo de Miller, primero se elige un valor.${\displaystyle M}$mucho más grande que${\displaystyle N}$y calcula una solución de prueba tomando la condición inicial${\displaystyle a_{M}}$a un valor arbitrario distinto de cero (como 1) y tomando${\displaystyle a_{M+1}}$y los términos posteriores a cero. Luego, la relación de recurrencia se utiliza para calcular sucesivamente los valores de prueba para${\displaystyle a_{M-1}}$,${\displaystyle a_{M-2}}$hasta${\displaystyle a_{0}}$Al observar que una segunda secuencia obtenida a partir de la secuencia de prueba mediante la multiplicación por un factor de normalización constante seguirá satisfaciendo la misma relación de recurrencia, se puede aplicar una relación de normalización independiente para determinar el factor de normalización que produce la solución real.

En el ejemplo de las funciones de Bessel modificadas, una relación de normalización adecuada es una suma que involucra los términos pares de la recurrencia:

${\displaystyle I_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}I_{2m}(x)=1}$

donde la suma infinita se vuelve finita debido a la aproximación que${\displaystyle a_{M+1}}$y los términos posteriores son cero.

Finalmente, se confirma que el error de aproximación del procedimiento es aceptable repitiendo el procedimiento con una segunda elección de${\displaystyle M}$mayor que la elección inicial y confirmando que el segundo conjunto de resultados para${\displaystyle a_{0}}$a través de${\displaystyle a_{N}}$estar de acuerdo dentro del primer conjunto dentro de la tolerancia deseada. Tenga en cuenta que para obtener este acuerdo, el valor de${\displaystyle M}$debe ser lo suficientemente grande como para que el término${\displaystyle a_{M}}$es pequeño en comparación con la tolerancia deseada.

En contraste con el algoritmo de Miller, los intentos de aplicar la relación de recurrencia en la dirección hacia adelante partiendo de valores conocidos de${\displaystyle I_{0}(x)}$y${\displaystyle I_{1}(x)}$Los resultados obtenidos mediante otros métodos fallarán ya que los errores de redondeo introducen componentes de la solución que aumenta rápidamente. ^{[ 4 ]}

Olver ^{[ 2 ]} y Gautschi ^{[ 5 ]} analizan en detalle la propagación de errores del algoritmo.

Para las funciones de Bessel de primer tipo, la relación de recurrencia equivalente y la relación de normalización son: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle J_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}J_{n}(x)-J_{n+1}(x)}$

${\displaystyle J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1}$.

El algoritmo es particularmente eficiente en aplicaciones que requieren los valores de las funciones de Bessel para todos los órdenes.${\displaystyle 0\cdots N}$para cada valor de${\displaystyle x}$en comparación con cálculos independientes directos de${\displaystyle N+1}$funciones separadas.