Solución de Michell

En mecánica de medios continuos , la solución de Michell es una solución general a las ecuaciones de elasticidad en coordenadas polares (${\displaystyle r,\theta }$) desarrollado por John Henry Michell en 1899. ^{[ 1 ]} La solución es tal que los componentes de tensión tienen la forma de una serie de Fourier en ${\displaystyle \theta }$.

Michell demostró que la solución general puede expresarse en términos de una función de tensión de Airy de la forma $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (r,\theta )&=A_{0}r^{2}+B_{0}r^{2}\ln(r)+C_{0}\ln(r)\\&+\left(I_{0}r^{2}+I_{1}r^{2}\ln(r)+I_{2}\ln(r)+I_{3}\right)\theta \\&+\left(A_{1}r+B_{1}r^{-1}+B_{1}'r\theta +C_{1}r^{3}+D_{1}r\ln(r)\right)\cos \theta \\&+\left(E_{1}r+F_{1}r^{-1}+F_{1}'r\theta +G_{1}r^{3}+H_{1}r\ln(r)\right)\sin \theta \\&+\sum _{n=2}^{\infty }\left(A_{n}r^{n}+B_{n}r^{-n}+C_{n}r^{n+2}+D_{n}r^{-n+2}\right)\cos(n\theta )\\&+\sum _{n=2}^{\infty }\left(E_{n}r^{n}+F_{n}r^{-n}+G_{n}r^{n+2}+H_{n}r^{-n+2}\right)\sin(n\theta )\end{aligned}}}$$ Los términos${\displaystyle A_{1}r\cos \theta }$y${\displaystyle E_{1}r\sin \theta }$definen un estado de tensión nulo trivial y se ignoran.

Los componentes de tensión se pueden obtener sustituyendo la solución de Michell en las ecuaciones de tensión en términos de la función de tensión de Airy (en coordenadas cilíndricas ). A continuación se muestra una tabla de componentes de tensión. ^{[ 2 ]}

Desplazamientos${\displaystyle (u_{r},u_{\theta })}$se puede obtener a partir de la solución de Michell utilizando las relaciones tensión-deformación y deformación-desplazamiento . A continuación se presenta una tabla de componentes de desplazamiento que corresponden a los términos de la función de tensión de Airy para la solución de Michell. En esta tabla

${\displaystyle \kappa ={\begin{cases}3-4~\nu &{\rm {for~plane~strain}}\\{\cfrac {3-\nu }{1+\nu }}&{\rm {for~plane~stress}}\\\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle \nu }$es el coeficiente de Poisson y${\displaystyle \mu }$es el módulo de corte .

Nótese que un desplazamiento de cuerpo rígido puede superponerse a la solución de Michell de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&=A~\cos \theta +B~\sin \theta \\u_{\theta }&=-A~\sin \theta +B~\cos \theta +C~r\\\end{aligned}}}$

para obtener un campo de desplazamiento admisible.

• elasticidad lineal
• Solución Flamant
• Juan Enrique Michell