Hispanopedia WikiEn el análisis funcional , se suelen utilizar dos medidas de no compacidad ; estas asocian números a conjuntos de tal manera que los conjuntos compactos obtienen la medida 0, y los demás conjuntos obtienen medidas mayores según "cuán lejos" estén de la compacidad.
La idea subyacente es la siguiente: un conjunto acotado puede cubrirse con una sola bola de cierto radio. A veces, varias bolas de radio menor también pueden cubrir el conjunto. De hecho, un conjunto compacto puede cubrirse con un número finito de bolas de radio arbitrariamente pequeño, porque es totalmente acotado . Entonces, cabe preguntarse: ¿cuál es el radio mínimo que permite cubrir el conjunto con un número finito de bolas?
Formalmente, comenzamos con un espacio métrico M y un subconjunto X. La medida de no compacidad de la bola se define como
- α( X ) = inf { r > 0 : existen un número finito de bolas de radio r que cubren X }
y la medida de no compacidad de Kuratowski se define como
- β( X ) = inf { d > 0 : existen un número finito de conjuntos de diámetro como máximo d que cubren X }
Dado que una bola de radio r tiene un diámetro como máximo 2 r , tenemos α( X ) ≤ β( X ) ≤ 2α( X ).
Las dos medidas α y β comparten muchas propiedades, y en lo que sigue utilizaremos γ para denotar cualquiera de ellas. He aquí una recopilación de datos:
- X está acotada si y solo si γ( X ) < ∞.
- γ( X ) = γ( X cl ), donde X cl denota el cierre de X .
- Si X es compacto, entonces γ( X ) = 0. Recíprocamente, si γ( X ) = 0 y X es completo , entonces X es compacto.
- γ( X ∪ Y ) = max(γ( X ), γ( Y )) para cualesquiera dos subconjuntos X e Y .
- γ es continua con respecto a la distancia de Hausdorff entre conjuntos.
Las medidas de no compacidad se utilizan con mayor frecuencia si M es un espacio vectorial normado . En este caso, además tenemos:
- γ( aX ) = | a | γ( X ) para cualquier escalar a
- γ( X + Y ) ≤ γ( X ) + γ( Y )
- γ(conv( X )) = γ( X ), donde conv( X ) denota la envoltura convexa de X
Nótese que estas medidas de no compacidad son inútiles para subconjuntos del espacio euclidiano R n : por el teorema de Heine-Borel , todo conjunto cerrado acotado es compacto allí, lo que significa que γ( X ) = 0 o ∞ según si X es acotado o no.
Sin embargo, las medidas de no compacidad son útiles en el estudio de espacios de Banach de dimensión infinita , por ejemplo. En este contexto, se puede demostrar que cualquier bola B de radio r tiene α( B ) = r y β( B ) = 2 r .
Véase también
Referencias
- Józef Banaś, Kazimierz Goebel : Medidas de no compacidad en espacios de Banach , Instituto de Matemáticas, Academia Polaca de Ciencias, Warszawa 1979
- Kazimierz Kuratowski : Topología Vol I , PWN. Varsovia 1958
- RR Akhmerov, MI Kamenskii, AS Potapova, AE Rodkina y BN Sadovskii, Medida de la no compacidad y operadores de condensación , Birkhäuser, Basilea 1992
- Análisis funcional