Problema del valor medio

El problema del valor medio es un problema abierto en el campo matemático del análisis complejo, planteado por primera vez por Stephen Smale en 1981. ^{[ 1 ]} El problema plantea:

Para un polinomio complejo dado${\displaystyle P}$de grado${\displaystyle d\geq 2}$^{[ 2 ] [ A ]} y unnúmero complejo${\displaystyle z}$¿Existe un punto crítico?${\displaystyle c}$de${\displaystyle P}$(es decir${\displaystyle P'(c)=0}$) tal que

${\displaystyle \left|{\frac {P(z)-P(c)}{zc}}\right|\leq K|P'(z)|{\text{ para }}K=1{\text{?}}}$

La cuestión ha sido resuelta para${\displaystyle K=4}$. ^{[ 1 ]} Para un polinomio de grado${\displaystyle d}$, la constante${\displaystyle K}$tiene que ser al menos${\displaystyle {\frac {d-1}{d}}}$debido al ejemplo${\displaystyle P(z)=z^{d}-dz}$, por lo que no hay límite constante mejor que${\displaystyle K=1}$pueden existir.

Se sabe que la conjetura se cumple en casos especiales; para otros casos, el límite en${\displaystyle K}$podría mejorarse dependiendo del grado${\displaystyle d}$, aunque no existe un límite absoluto${\displaystyle K<4}$Se sabe que esto se aplica a todos.${\displaystyle d}$.

En 1989, David Tischler demostró que la conjetura es cierta para el límite óptimo.${\displaystyle K={\frac {d-1}{d}}}$si${\displaystyle P}$tiene solo raíces reales , o si todas las raíces de${\displaystyle f}$tienen la misma norma . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

En 2007, Anthony Conte y otros demostraron que${\displaystyle K\leq 4{\frac {d-1}{d+1}}}$, ^{[ 2 ]} mejorando ligeramente el límite${\displaystyle K\leq 4}$para fijo${\displaystyle d}$También en 2007, Edward Crane demostró que${\displaystyle K<4-{\frac {2.263}{\sqrt {d}}}}$para${\displaystyle d\geq 8}$. ^{[ 5 ]}

Considerando la desigualdad inversa , Vladimir Dubinin y Toshiyuki Sugawa demostraron que (bajo las mismas condiciones que las anteriores) existe un punto crítico.${\displaystyle c}$de tal manera que${\displaystyle \left|{\frac {P(z)-P(c)}{zc}}\right|\geq {\frac {|P'(z)|}{n4^{n}}}}$. ^{[ 6 ]} El problema de optimizar esta cota inferior se conoce como el problema del valor medio dual . ^{[ 7 ]}

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