Dimensiones de máxima información

La técnica de dimensiones máximamente informativas es una técnica de reducción de dimensionalidad utilizada en los análisis estadísticos de respuestas neuronales . Específicamente, consiste en proyectar un estímulo sobre un subespacio de baja dimensión para preservar la mayor cantidad de información posible sobre el estímulo en la respuesta neuronal. Su fundamento radica en que los estímulos naturales suelen estar confinados, por sus estadísticas, a un espacio de menor dimensión que el abarcado por el ruido blanco ^{[ 1 ]} , pero la identificación correcta de este subespacio mediante técnicas tradicionales se complica por las correlaciones existentes en las imágenes naturales. Dentro de este subespacio, las funciones estímulo-respuesta pueden ser lineales o no lineales . La idea fue desarrollada originalmente por Tatyana Sharpee , Nicole C. Rust y William Bialek en 2003 ^{[ 2 ].}

Las funciones de estímulo-respuesta neuronales se expresan típicamente como la probabilidad de que una neurona genere un potencial de acción , o espiga, en respuesta a un estímulo.${\displaystyle \mathbf {s} }$El objetivo de las dimensiones máximamente informativas es encontrar un pequeño subespacio relevante del espacio de estímulo mucho más grande que capture con precisión las características más destacadas de${\displaystyle \mathbf {s} }$. Dejar${\displaystyle D}$denotan la dimensionalidad de todo el espacio de estímulos y${\displaystyle K}$denotamos la dimensionalidad del subespacio relevante, de tal manera que${\displaystyle K\ll D}$Dejamos...${\displaystyle \{\mathbf {v} ^{K}\}}$denotamos la base del subespacio relevante, y${\displaystyle \mathbf {s} ^{K}}$la proyección de${\displaystyle \mathbf {s} }$sobre${\displaystyle \{\mathbf {v} ^{K}\}}$Utilizando el teorema de Bayes , podemos escribir la probabilidad de un pico dado un estímulo:

${\displaystyle P(spike|\mathbf {s} ^{K})=P(spike)f(\mathbf {s} ^{K})}$

dónde

${\displaystyle f(\mathbf {s} ^{K})={\frac {P(\mathbf {s} ^{K}|spike)}{P(\mathbf {s} ^{K})}}}$

es alguna función no lineal del estímulo proyectado.

Para elegir el óptimo${\displaystyle \{\mathbf {v} ^{K}\}}$, comparamos la distribución de estímulos previa${\displaystyle P(\mathbf {s} )}$con la distribución de estímulos desencadenados por picos${\displaystyle P(\mathbf {s} |spike)}$utilizando la información de Shannon . La información promedio (promediada en todos los estímulos presentados) por espiga viene dada por

${\displaystyle I_{spike}=\sum _{\mathbf {s} }P(\mathbf {s} |spike)log_{2}[P(\mathbf {s} |spike)/P(\mathbf {s} )]}$. ^{[ 3 ]}

Ahora considere un${\displaystyle K=1}$subespacio dimensional definido por una sola dirección${\displaystyle \mathbf {v} }$. La información promedio transmitida por un solo pico sobre la proyección${\displaystyle x=\mathbf {s} \cdot \mathbf {v} }$es

${\displaystyle I(\mathbf {v} )=\int dxP_{\mathbf {v} }(x|spike)log2[P_{\mathbf {v} }(x|spike)/P_{\mathbf {v} }(x)]}$,

donde las distribuciones de probabilidad se aproximan mediante un conjunto de datos medidos a través de${\displaystyle P_{\mathbf {v} }(x|spike)=\langle \delta (x-\mathbf {s} \cdot \mathbf {v} )|spike\rangle _{\mathbf {s} }}$y${\displaystyle P_{\mathbf {v} }(x)=\langle \delta (x-\mathbf {s} \cdot \mathbf {v} )\rangle _ {\mathbf {s} }}$, es decir, cada estímulo presentado está representado por una función delta de Dirac escalada y las distribuciones de probabilidad se crean promediando sobre todos los estímulos que provocan picos, en el primer caso, o sobre todo el conjunto de estímulos presentados, en el segundo caso. Para un conjunto de datos dado, la información promedio es una función solo de la dirección${\displaystyle \mathbf {v} }$. Bajo esta formulación, el subespacio relevante de dimensión${\displaystyle K=1}$estaría definido por la dirección${\displaystyle \mathbf {v} }$que maximiza la información promedio${\displaystyle I(\mathbf {v} )}$.

Este procedimiento puede extenderse fácilmente a un subespacio relevante de dimensión${\displaystyle K>1}$definiendo

${\displaystyle P_{\mathbf {v} ^{K}}(\mathbf {x} |spike)=\langle \prod _{i=1}^{K}\delta (x_{i}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {v} _{i})|spike\rangle _{\mathbf {s} }}$

y

${\displaystyle P_{\mathbf {v} ^{K}}(\mathbf {x} )=\langle \prod _{i=1}^{K}\delta (x_{i}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {v} _{i})\rangle _{\mathbf {s} }}$

y maximizar${\displaystyle I({\mathbf {v} ^{K}})}$.

El método de dimensiones máximamente informativas no presupone ninguna gaussianidad en el conjunto de estímulos, lo cual es importante, ya que los estímulos naturalistas tienden a presentar estadísticas no gaussianas. De esta forma, la técnica resulta más robusta que otras técnicas de reducción de dimensionalidad, como los análisis de covarianza activados por picos neuronales .